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1*x=x
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 20:46:50    Titel:

In dem Modell der Monoide ist 1 * x = x als Axiom enthalten, wenn ich mich nicht irre. Das ist gerade das Statement, dass 1 neutral bzgl. * ist. Daher ist da nicht so viel zu beweisen. Was den anderen Beweis (-1)*(-1) = 1 anbetrifft im Modell der Ringe oder so (man braucht ja da "-"), so ist das ein alter Bekannter. Ich habe im Tutorium vorlaut angekündigt, der wäre Klausurrelevant und habe mich hingestellt um den vorzurechnen. Was dann kam war eine relativ peinliche 1-stündige Sitzung am Ende von welcher ich zugeben musste, dass ich den Beweis zu hause machen sollte und dann vorführe. Der Beweis ist ca. 40 Zeilen lang.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2006 - 00:18:27    Titel:

40 zeilen?
reicht nicht:

0 = (-1)* 0 = (-1) * [(-1) + 1] = (-1)*(-1) + (-1)*1 = (-1)*(-1) + (-1)
=> (-1)*(-1) ist das additive inverse zur (-1), also 1.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2006 - 01:01:24    Titel:

Ich meine einen formalen Beweis im Kalkül für atomare Formeln in Algebren. Diese Scheiße mit Reflexion, Modus Ponens, Substitution, Ersetzung usw. Aber genau so geht der. Man macht zuerst einen informellen und daraus einen formalen Beweis. Und deiner oben ist ein Teil des informellen. Das sieht so aus

0 = a * 0 (Axiom)
0 = (-1)*0 (Substitution)
a + (-a) = 0 (Axiom)
1 + (-1) = 0 (Substitution)
a * (b+c) = a*b + a*c (Axiom)
(-1) * (b+c) = (-1) * b + (-1) * c (Subst.)
(-1) * (1+c) = (-1) * 1 + (-1) * c (Subst.)
(-1) * (1 + (-1)) = (-1) * 1 + (-1)*(-1) (Subst)
(-1) * 0 = (-1) * 1 + (-1)*(-1) (Ers.)
0 = (-1)*1 + (-1)*(-1) (Ers.)
-((-1)*1) + 0 = -((-1)*1) + 0 (Ref.)
-((-1)*1) + ((-1)*1 + (-1)*(-1)) = -((-1)*1) + 0 (Ers.)
a + (b+c) = (a+b)+c
-((-1)*1) + ((-1)*1 + (-1)*(-1)) = (-((-1)*1) + (-1)*1)) + (-1)*(-1) (3 mal Subst)
(-((-1)*1) + (-1)*1)) + (-1)*(-1) = -((-1)*1) + 0 (Ers.)
(-a) + a = 0 (Axiom)
(-((-1)*1)) + (-1)*1) = 0 (Subst.)
0 + (-1)*(-1) = -((-1)*1) + 0 (Ers.)
0 + a = a (Axiom)
0 + (-1)*(-1) = (-1)*(-1) (Subst.)
(-1)*(-1) = -((-1)*1) + 0 (Ers.)
a + 0 = a (Axiom)
-((-1)*1) + 0 = -((-1)*1) (Subst.)
(-1)*(-1) = -((-1)*1) (Ers.)

Und jetzt fehlt noch der Beweis, dass -((-1)*1) = 1 ist. Der geht so

a*1 = a (Axiom)
(-1)*1 = (-1) (Subst.)
-((-1)*1) = -((-1)*1) (Ref.)
(-(-1)) = -((-1)*1) (Ers.)
a + (-a) = 0 (Axiom)
(-1) + (-(-1)) = 0 (Subst.)
1 + 0 = 1 + 0 (Ref.)
1 + ((-1) + (-(-1))) = 1 + 0 (Ers.)
a + (b+c) = (b+c) + a (Axiom)
1 + ((-1) + (-(-1))) = (1 + (-1)) + (-(-1)) (3 mal Subst)
a + (-a) = 0 (Axiom)
1 + (-1) = 0 (Subst.)
1 + 0 = (1 + (-1)) + (-(-1)) (Ers.)
1 + 0 = 0 + (-(-1)) (Ers.)
a + 0 = a (Axiom)
1 + 0 = 1 (Subst.)
1 = 0 + (-(-1)) (Ers.)
0 + a = a (Axiom)
0 + (-(-1)) = (-(-1)) (Subst.)
1 = (-(-1)) (Ers.)

Und insgesamt gibt also

1 = (-(-1)*1) (Ers.)
(-1)*(-1) = 1 (Ers.)

Damit wäre es gezeigt. Ich habe die Zeilennummern weggelassen, damit ist der etwas länger geworden. Aber so in etwa geht das.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2006 - 10:05:48    Titel:

ist also genau das gleiche beweisprinzip wie mein einzeiler, nur ausführlicher Smile bei mir an der uni hätte der kurze gelangt, wenn man an jedes gleichheitszeichen kurz dranschreibt, was man da benutzt, glaube ich Smile
wenn es nicht gerade in der vorlesung speziell um deine "scheiße mit reflexion" etc. geht...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2006 - 12:21:28    Titel:

Zitat:
bei mir an der uni hätte der kurze gelangt, wenn man an jedes gleichheitszeichen kurz dranschreibt, was man da benutzt, glaube ich


Der ist fast genau so viel Wert, wie zu sagen (-1)*(-1) = 1. Der Unterschied zwischen den beiden ist, dass das Kalkül von oben korrekt und vollständig ist. D.h. alles, was man damit hinschreiben kann ist richtig. Und alles was richtig ist lässt sich irgendwie hinschreiben. Bei deinem Beweis sieht man nicht, wie genau das aus den Axiomen hervorkommt. Außerdem sieht man unterschlagene Beweisteile nicht. Erstens is es in Ringen überhaupt nicht klar, dass 0 = a+ b und (-a) = b gleichwertig ist. Und -((-1)*1) = 1 hast Du komplett unterschlagen. Smile

Aber recht hast Du: Um die Korrektheit in diesem einfachen Fall einzusehen braucht man kein Hilbert-Kalkül und co. Es handelt sich nur um eine Übungsaufgabe, die, wenn man sie aus dem Stehgreif lösen, will ein wenig krass ist. Ist auch keine Analysis oder LA sondern Algebra und Logik Vorlesung.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Jan 2006 - 14:23:56    Titel:

ich finde in ringen ist es total klar, dass 0=a+b und (-a)=b gleichwertig ist. ring = addtive gruppe, 0 neutrales element bzgl addition => b das additive inverse von a, nichts anderes heisst (-a)=b.

-((-1)*1), weil 1 neutral bzgl mult ist folgt
= -(-1) , das additive inverse vom inversen von 1, also 1.

wo siehst du da ein problem?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 30 Jan 2006 - 14:31:02    Titel:

Zitat:
wo siehst du da ein problem?


Nein, sehe ich nicht. Es ist halt eine Sicht der formalen Logik, die im Beweis von oben vertreten ist. So geht formal ein Theorembeweiser vor, wenn er das zeigen soll. Solange man nicht solche Spielchen gemacht hat, wie: "Entfernen wir mal ein Axiom aus der Theorie der Ringe (oder ersetzen irgendwas durch irgend was anderes) und schauen, ob das und das immer noch gilt", sieht man auch nicht ein, dass man das machen soll. Den formalen Beweis, dass -(-a) = a ist, den Du so einfach mit "trivial, inverse und co." abgehackt hast, finde ich abslout nichttrivial. Siehe oben.
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