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Komplexe Zahlen. Alle Werte berechnen
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MissYumi
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Anmeldungsdatum: 19.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 18:48:30    Titel: Komplexe Zahlen. Alle Werte berechnen

Hallo,

ich soll alle Werte berechnen:

a) (1+i)^(1/3)
b) (-3)^(1/4)
c) (-1)^i
d) cos i

ich hab keine Ahnung wie. Ich hatte bei a erst die eulersche Darstellung aber das war falsch. Brauch dringend hilfe.. Embarassed
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 19:14:18    Titel:

z = (1+i)^(1/3) Question
also: gesucht ist eine komplexe Zahl z, für die gilt: z³ = 1 + i

VORSCHLAG: WÄHLE DIE POLARFORMDARSTELLUNG:

Ansatz : z = r* cis(w) mit: r=Betrag(z) und cis(w) = cos(w) + i*sin(w)
::::> z³ = r³ * cis(3*w) und 1 + i = sqrt(2) * cis(45° + k*360°)

also ist r³ = sqrt(2) und folglich r = 2^(1/6)
und w = 15° + k*120°
und damit ergeben sich die drei Lösungen der Aufgabe zu

z = 2^(1/6) * cis(15° + k*120°) .....für k = 0, 1 ,2 Smile

Wenn du willst, kannst du diese drei Ergebnisse leicht auch wieder in Normalform darstellen.
MissYumi
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Anmeldungsdatum: 19.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 19:23:21    Titel:

ok wenn ich noch rausbekomme was w ist ist das klasse. habs einigermaßen verstanden. und das klappt auch bei den anderen??
MissYumi
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Anmeldungsdatum: 19.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 19:40:30    Titel:

Eins noch. Ich dachte erst cis sein ein Tippfehler aber du hast beides drin cis und cos... was is denn cis??
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 20:16:13    Titel:

Also: c i s ist einfach eine schlaue Abkürzung für Cosinus.. plus i mal Sinus... Smile

Beispiel: cis(30°) = cos(30°) + i*sin(30°) = 0,5* 2^(1/2) + 0,5 * i

w ist ein Winkel (habe hier leider keine griechischen Buchstaben...)
dieser Winkel heisst auch das "Argument" von z
Beispiele:
Du hast ja gesehen:
(1 + i) besitzt das Argument 45° (bzw 45° + Vielfache von 360°): Wenn du diesen Punkt z=1+i in der komplexen Zahlenebene einträgst, ist das der Winkel von z mit der (positiven) reellen Achse.
Für die Zahl i ist w=90°, für die Zahl -1 ist w=180° usw. usw.
Alles klar Question
MissYumi
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Anmeldungsdatum: 19.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 20:24:15    Titel:

Ok a) hab ich fertig danke. Aber wie löse ich b) ??
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 20:36:37    Titel:

Kleiner Scherz gefällig? :
Ok a) hab ich fertig danke. Aber wie löse ich b) ?? Sad

z^4 = - 3 :::::::>
du wirst ja wohl die nächsten Schritte nach dem Muster von a) selbst gehen wollen Exclamation
MissYumi
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Anmeldungsdatum: 19.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 20:40:54    Titel:

ja versuche ich grad. ich hab nur noch eins nicht ganz verstanden. wie ich auf den teil in der klammer komme. hab folgendes:

w = pi
r = |z| = sqrt(x^2 + y^2) = sqrt(-3²) = 3

z = 3^1/4 (cos w + i*sin w)^1/4

so jetzt kommt in die klammer irgendwie pi und k .. aber wie errechne ich das?!
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 29 Jan 2006 - 21:11:42    Titel:

z^4=-3
nimm für die Winkel nicht das Bogen- sondern das Gradmass

Ansatz immer gleich:
z = r*cis(w) für die gesuchte Zahl

die gegebene Zahl (hier -3) in Polarform darstellen:
- 3 = 3*cis(180°+ k*360°)

einsetzen:
(r * cis(w))^4 = 3*cis(180°+ k*360°) ...................... (k=0,1,2,3)

vierte Wurzel:
a) für den Betrag r= 3^(1/4)
b) das Argument ist durch 4 zu teilen: also w = (180°+ k*360°) / 4
also für k=0 -> w1= 45° ,für k=1 -> w2 = 135°, für k=2 und k=3->.....??

(wegen vierter Wurzel gibt es vier verschiedene Lösungen ; für k=4 erhältst du wieder w1 usw...)
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