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Hoch- /Tiefpunkte einer Funktion
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neele99
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 734

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2006 - 16:53:52    Titel: Hoch- /Tiefpunkte einer Funktion

Hi Smile
Also ich muss von folgender Funktion die Hoch und Tiefpunkte herausfinden:
f(x)= 8x-2/3x³ und eine Nullstelle ist schon gegeben x0= 3/2
Wie geh ich da am besten vor?
Also als erstes Funktion ableiten oder?
8-2x²
Und dann Null setzen?!
8-2x²= 0 /-8
-2x²= -8 /+2
x²= -10 ?!?!?

Mhhh wenn man dann die Nullstellen herausgefunden hat, wie ermittelt man denn dann die Hoch und Tiefpunkte? Das kann man doch alleine von den Nullstellen her doch nicht sehen oder?

Und wie gehe ich bei linearen,quaratischen Funktionen, biquadratischen Funktionen vor?! Auch immer Null Setzen?!

Ps: Ist die Zahl "0" eine positive oder negative Zahl? Positiv oder?
Und bei der Funktion x³-3x...ist da 0 eine Nullstelle? Dafür muss man aber die 0 in die Ursprungsfunktion einsetzen, nicht in die 1. Ableitunsfunktion? Weil wenn ja wäre 0 keine Nullstelle dieser Funktion Sad
DANKE!
gregstar
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 446
Wohnort: Ludwigshafen

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2006 - 17:05:00    Titel:

Aaaaaaaaalso kurzes vorne weg:
Die Ableitungsfunktion f'(x) von einer Funktion f(x) gibt die Steigung im Punkt x/y der Tangenten an.
Da wären wir beim Hoch/Tief-Punkt: Die haben beide gemeinsam dass sie
eine Tangente mit der Steigung = 0 besitzen, sprich eine parallel zur x-Achse.

Deshalb leiten wir erst 1 mal ab und dann setzten dann 0 um herauszubekommen bei welchen Punkten die Steigung 0 ist... jetzt zu deiner Rechnung:

f'(x) = 8 - 2x²
0 = 8 - 2x²
-8 = -2x²
-4 = -x² (mal minus 1)
4 = x²
x(1) = +wurzel(4) -> 2
x(2) = -wurzel(4) -> -2

bei Fragen entweder hier reinposten oder private message Smile
gruß
neele99
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 734

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2006 - 17:19:08    Titel: :)

Danke:) Also ist der Hochpunkt und der Tiefpunkt bei
x(1) = +wurzel(4) -> 2
x(2) = -wurzel(4) -> -2
???

Sind diese beiden Punkte denn auch gleichzeitig Nullstellen, ja oder?!
Aber wenn der höchste Exponent ist ja 3...gibt es dann auch nicht 3 Nullstellen?

Und dann noch die Frage
Und wie gehe ich bei linearen,quaratischen Funktionen, biquadratischen Funktionen vor?! Auch immer Null Setzen?!
neele99
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 734

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2006 - 17:48:57    Titel: ?

Ich mein wenn es Nullstellen wären, wie erkenne ich denn dann genau den Hoch und den Tiefpunkt??? Wie krieg ich den raus?
Merci:)
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2006 - 18:14:48    Titel:

Hi neele99,

Tiefpunkt liegt bei: f'(x) = 0 und f''(x) > 0
Hochpunkt liegt bei: f'(x) = 0 und f''(x) < 0

ist: f'(x) = 0 und auch zugleich f''(x) = 0 dann ist der betrachtete Punkt ein Sattelpunkt (= Wendestelle mit waagerechter Tangente), wenn f'''(x) existiert
neele99
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 734

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2006 - 19:07:47    Titel: :(

ich versteh das mit diesen formeln nicht Sad Crying or Very sad kannst dus mir nich mal anhand von dem beispiel erklären Sad
wäre lieb!
danke!
neele
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 31 Jan 2006 - 19:20:55    Titel:

dann nehmen wir mal die Funktion: f(x) = 1/6 * x³ - 1/4 * x² - x - 1

Ableitungen:
f'(x) = 1/2 x² - 1/2 x - 1
f''(x) = x - 1/2
f'''(x) = 1

Hoch- oder Tiefpunkt:
f'(x) = 0 also:
1/2 x² - 1/2 x - 1 = 0 ==> x² - x - 2 = 0 ==> x_1,2 = +1/2 ± sqrt[0,25+2] = 0,5 ± 1,5
x_1 = -1 und x_2 = +2 sind die Nullstellen der ersten Ableitung

Nun weiter:
f'''(x) existiert;
f''(x_1) = f''(-1) = -1 -1/2 = -1,5 < 0 ==> an der Stelle x_1 ist ein Max
f''(x_2) = f''(2) = 2 - 1/2 = 1,5 > 0 ==> an der Stelle x_2 ist ein MIN
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