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Knobelaufgabe (Funktionalgleichung)
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2006 - 13:43:57    Titel: Knobelaufgabe (Funktionalgleichung)

Man bestimme alle Polynome P(x), so dass

P(x²+1)=(P(x))²+1
P(0)=0
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2006 - 14:58:21    Titel:

das einzige polynom ist P(x)=x.

mit
Q(x):=P²(x)+1, R(x):=P(x²+1), und den gegebenen voraussetzungen gilt:
1=1+P²(0)=Q(0)=R(0)=P(1)
und
2=1+P²(1)=Q(1)=R(1)=P(2)
und
5=1+P²(2)=Q(2)=R(2)=P(5)
usw.
induktiv gilt
n²+1=P(n²+1) => P(n²+1)-(n²+1)=0 für alle n aus IN. => P(x)-x ist das null-polynom => P(x)=x.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2006 - 15:03:41    Titel:

die induktion fehlt allerdings noch Very Happy die scheint nicht so einfach zu sein *g* aber immerhin ein vielversprechender anfang
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2006 - 15:09:31    Titel:

ok anstatt n²+1 nehm ich ne andere folge von zahlen und zwar die folge a_n. dabei ist a_0=0, a_1=1, a_2=2, a_3=5, a_4=26 ... a_n=(a_(n-1))²+1.

dann ist P(a_n)=a_n, induktionsschritt geht so:

P(a_(n+1))=P((a_n)²+1)=R(a_n)=Q(a_n)=P²(a_n)+1=(a_n)²+1=a_(n+1)

und man kann das gleiche argument wie oben benutzen.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2006 - 10:46:24    Titel:

Ja das ist richtig.
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