Grenzwertproblem / Stetigkeit

wrelss · Junior Member Anmeldungsdatum: 15.01.2006 Beiträge: 77

Hallo @ all,

also irgendwie hab ich glaub ein generelles Problem mit Grenzwerten und Sachen die damit zusammenhängen.

Ich hab schon wieder 2 Aufgaben, wo ich absolut nicht mal einen Ansatz finde.

1.) Wie muss A und B gewält werden, damit folgende Fkt. stetig ist
-2sinx x<=-Pi/2
f(x)= A sinx+B |x|<Pi/2
cos x x>=Pi/2 (x Element R)
-->hier muss so ne geschweifte Klammer nach dem f(x) kommen und
schliesst alle 3 folgenden Gleichungen ein

Da weis überhaupt nichts mit anzufangen - wie auch mit der nächsten Aufgabe

2.) Für welche x Element R ist y=f(x) stetig? Geben Sie die Unstetigkeitstellen an, um welche Art Unstetigkeitsstellen handelt es sich?

f(x)=x/(1+e^(1/x))

Ich hoffe ihr könnt mir vielleicht ein paar allgemein gültige Hinweise zu solchen Aufgaben geben und wie ich mich an die Lösung rantaste bzw. zur Lösung komme.

Vielen lieben Dank, MfG wrelss

Fry83 · Verfasst am: 02 Feb 2006 - 19:20:09 Titel:

ähnliche Frage auch gerade gestellt.
Ist verdammt lange her mit stetigkeit, aber wenn der Grenzwert von links ungleich dem von rechts ist ist f(x) nicht stetig (, wobei differenzierbarkeit selber geprüft werden muss). Allgemein wenn ich beim zeichnen den Stift heben muss.

wrelss · Junior Member Anmeldungsdatum: 15.01.2006 Beiträge: 77

Kann mir denn keiner noch paar Tips zur Rangehensweise was die Lösung einer solchen Aufgabe angeht helfen ... Rolling Eyes

wrelss · Junior Member Anmeldungsdatum: 15.01.2006 Beiträge: 77

Zu der Aufgabe hat auch noch keiner eine glänzende Idee, die weiterhilft, oder? Crying or Very sad

LG

aldebaran · Senior Member Anmeldungsdatum: 30.09.2004 Beiträge: 1673

Hi,

erst mal zu Aufgabe 1):
aus deiner Schreibweise lese ich etwa ab: f(x) ist eine sog. abschnittsweise definierte Funktion:

f(x) = -2sin(x) für x<=-Pi/2 (I. Abschnitt)
f(x) = A sin(x) + B für |x|<Pi/2 (II. Abschnitt)
f(x) = cos(x) für x>=Pi/2 (III.Abschnitt) (x Element R)

Regel der Stetigkeit:
linksseitiger Grenzwert = rechtsseitiger Grenzwert = Funktionswert an der betrachteten Stelle
(Hier: sind die Stellen die Abschnittsgrenzen)

Also:
Betrachtung linke Abschnittsgrenze:
1) linksseiter Grenzwert: lim[-2sin(x)] mit x->(-(PI/2)) = -2sin(-PI/2) = +2
2) rechtsseitiger Grenzwert: lim[Asin(x) + B] mit x->(-(PI/2)) = Asin(-PI/2) + B = B - A
3) f(x=(-PI/2)) = -2sin(-PI/2) = +2
==> B-A = +2 (I)

Betrachtung rechte Abschnittsgrenze:
1) linksseitiger Grenzwert: lim[Asin(x) + B] mit x->(PI/2) = Asin(PI/2) + B = A+B
2) rechtsseiter Grenzwert: lim[cos(x)] mit x->(PI/2) = 0
3) f(x=PI/2) = cos(PI/2) = 0
==> A+B = 0 (II)

aus (I) und (II) folgt A = -1 und B = 1; Ergebnis: f(x) ist stetig über den reellen Zahlen

Hinweis: f(x) ist zwar an beiden Abschnittsgrenzen stetig, aber nicht differenzierbar ; die Stelle x = (-PI/2) ist stetig und differenzierbar, die Stelle x = (PI/2) ist stetig aber nicht differenzierbar.
Es ist günstig, die Funktion selbst mal auf dem Papier zu zeichnen!

Aufgabe 2:
x ungleich 0, da dann der Exponent der e-Funktion nicht definiert ist; also x aus R ohne die Null

wrelss · Junior Member Anmeldungsdatum: 15.01.2006 Beiträge: 77

Hallo aldebaran,

DU BIST MEINE RETTUNG!!! Danke für die super Erklärung.

Ich wusste nicht einmal, dass solche Fkt. Abschnittsfunktionen heißen. Das einzige was ich noch ein kleines Problem mit habe, ist der Hinweis.

aldebaran · Senior Member Anmeldungsdatum: 30.09.2004 Beiträge: 1673

Hi nochmals,

die Stetigkeit wird mit der Grenzwertbetrachtung wie oben beschrieben nachgewiesen,

nun wichtig:
die Beurteilung der Differenzierbarkeit geht prinzipiell gleichartig nur beurteilt man nicht die Ursprungsfunktion, sondern die Ableitungsfunktion f'(x).

Eine Funktion ist dann differenzierbar, wenn
1) die Stetigkeit an der Stelle x = a nachgewiesen ist,
2) der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitge Grenzwert der Ableitungsfunktion an der Stelle x = a gleich ist.

Dies aber bedeutet, dass die Funktion f(x) an der Stelle x = a eine eindeutige Tangente t(x) besitzt. Dies bedeutet das f(x) von dem einen Abschnitt ohne "Knick" in den nächsten Abschnitt übergehen muss. Gibt es einen "Knick", dann gibt es auch zwei Tangenten, d.h. f(x) ist zwar stetig (= an dieser Stelle eindeutig definiert) aber nicht differenzierbar (= hat mehr als eine einzige eindeutige Tangente).

Schönen Sonntag noch!

wrelss · Junior Member Anmeldungsdatum: 15.01.2006 Beiträge: 77

DANKE für die ausführliche Erläuterung. Hat mir sehr für mein Verständnis geholfen, da sollte der Teil dann in der Prüfung gelingen ... Wink

Wünsche ebenfalls noch nen schön Sonntag.

LG wrelss