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n ganzer und zwei halbe zylinder?
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Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2006 - 11:02:49    Titel: n ganzer und zwei halbe zylinder?

infinitesimale haarspalterei:

ich habe einen endlichen dreidimensionalen, zur yz-ebene symmetrischen körper. der einfachheit halber nen zylinder mit mittelpunkt im ursprung und höhe 2a. das volumen lässt sich über die grundfläche nach dx von -a bis +a integrieren. ok.

jetzt schneide ich meinen zylinder entlang der symmetrieebene in zwei hälften. das gesamtvolumen muss gleich der summe der teilvolumen sein. aber ich habe ein problem beim ansetzen der grenzen: eines der integrale gilt z.b. für x<0 und eines für x>=0, weil ich ja das gesamte volumen haben will. das geht aber nicht, da beide hälften exakt gleich sind, aber die hälfte, die die 0 enthält, infinitesimal größer wäre. wo ist das kleine stückchen hin? und was passiert, wenn ich diesen halbierungsschritt beliebig oft durchführe? ist irgendwann nix mehr von meinem zylinder da?

kann mich jemand aufklären? rall ich irgend ein prinzip der infinitesimalrechnung nicht oder ist hier wirklich 1+1 ungleich 2?

und bitte keine abgedrehten mathematischen theorien auspacken, ich studiere ingenieurwissenschaften. Laughing
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2006 - 14:39:02    Titel:

Das ist das gleiche Problem das Volumen eines Punktes messen zu wollen. Betrachtet man es so hat ein Punkt ein Volumen von Null, somit ändert sich auch nichts am Volumen. Das Integral berechnet das Volumen einer zusammenhängenden R-integrierbaren Teilmenge des R^n in dem es Quader im R^n (die ein Volumen haben) beliebig klein macht und dann addiert, also der Grenzwert einer Folge.
Die Antwort ist also: Ein Punkt hat das Maß 0 (wie der Mathematiker sagt), somit ändert sich nichts am Volumen.
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