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Kreis und Geradenschar im Raum
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Gast







BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 12:17:07    Titel: Kreis und Geradenschar im Raum

Hallo

ich habe einen Kreis mit M(0/0) und r=5 gegeben
und eine Gradenschar g: x= (7/1)+s (3/p)

Werte in Klammern sind in Vektorenform gegeben und p ist Element der reellen Zahlen!

Für welche Werte des Parameters p erhält man eine Sekante, Passante, Tangente an dem Kreis?

Hab schon versucht, g in den Kreis einzusetzen, aber ich komm einfach nicht weiter, da ich mit Scharen noch nie gerechnet habe und einfach keine Ahnung habe.

Bin für jede Hilfe ganz doll dankbar, da ich auch nicht mehr soviel Zeit habe!
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 13:23:07    Titel:

Hi,
nun wir schreiben den Kreis mal mit der Kreisgleichung:
(vereinfachte Schreibweise: x = 1. Koordinate, y = 2. Koordinate)
x^2+y^2=r^2 hier: x^2+y^2=25

aus der Geradengleichung kommen folgende Zeilen:
x=7+3s und y=1+sp
Diese Zeilen für x und y werden quadriert und in die Kreisgleichung eingesetzt.

Damit erhalten wir ein Gleichung in der die Variablen s und p enthalten sind.

Man stellt diese Gleichung so um, dass sie die Form eine quadratischen Gleichung für die Anwendung der Mitternachtsformel erhält, dabei ist p wie eine reelle Zahl zu behandeln, also ist die Gleichung folgendermaßen aufgabaut:
s^2 + (....)*s+(....)=0 (mit Ausklammern und Umformen)
Nun weiß man nach der Mitternachtsformel, dass dort die Wurzel gezoghen werden muss.
Die Zahl unter der Wurzel heißt Diskriminante D!

Ist D>0 (also für bestimmte p-Werte), d.h. die Wurzel kann man ziehen, dann gibts zwei Lösungen, d.h. die Geraden schneiden den Kreis zweimal =(Sekante)!

Ist D=0 (also für bestimmte p-Werte), dann ist die Wurzel =0, dann gibts nur eine Lösung, d.h. die Geraden berühren den Kreis nur einmal (= Tangente !

Ist D<0 (also für bestimmte p-Werte), dann ist die Wurzel nicht zu ziehen, dann gibts keine Lösung, d.h. die Gerade ist Passante (=geht vorbei) !

Ist mit großem Rechenaufwand verbunden, geht aber so zu lösen.

Also auf gehts !
Schick später doch mal die Lösungen !
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 13:29:43    Titel:

Vielleicht vorher noch zum Verständnis:

wähle doch mal für p=3 und berechne dann die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis !

Hier dazu die Ergebnisse:
Es gibt zwei Werte für s: s_1=-1,9569 und s_2=-0,7097
Die Schnittpunkte zwischen Kreis und Geraden lauten:
A(1,129171|-4,870869) und B(4,870869|-1,129171)
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 13:51:38    Titel:

Danke danke danke für die schnelle hilfe

also ich hab das schonmal verstanden, wie ich anfangen muss und bin jetzt bis:

p^2*s^2+9*s^2+2*p*s+42s+25=0

aber ab da komm ich gar nicht weiter Sad
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 14:35:38    Titel:

Nach den Einsetzen und Ausmultiplizieren muss zunächst:
49+42s+9s^2 + 1+2sp+s^2p^2=25 entstehen.

Nachvollzogen?
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 14:42:37    Titel:

Hab deine Lösung zu spät gesehen, Sie ist ok.

Nun müssen in dieser Gleichung die Koeffizienten von s^2 und von s jeweils ausgeklammrt werden (hier p als reelle Zahl denken);
damit entsteht eine Gleichung II. Grades; sie ist die Kürzen auf die Form
x^2 + px + q = 0 zu bringen und mittels Mitternachtsformel zu lösen.
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 15:22:20    Titel:

ja genau da liegt mein problem, ich krieg das mit dem ausklammern nicht hin. zumindest nicht so, dass da was anständiges bei rauskommt.
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 15:29:02    Titel:

Nach dem Ausklammern muss es heißen:
(9+p^2)*s^2 +(42+2*p)*s + 25 = 0
aldebaran
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 16:06:30    Titel:

Hi Gast,

wenn deine Pause fertig ist:

1. vorstehende Gleichung in die Form x^2+px+q=0 bringen und Mitternachtsformel formulieren

2. Wert unter der Wurzel (=Diskriminante) muss ein Bruch sein, deshalb erweitern

3. Nur den Zähler dieses Bruches betrachten: dies ist wieder eine quadratische Gleichung von f(p)

4. Sie hat die Nullstellen: x_1 = -2,25 und x_2 = +4

Damit ergeben sich die gesuchten P-Werte:

für:
a) x=-2,25 und x=+4 ist die Gerade eine Tangente an den Kreis
b) -2,25<x<+4 ist die Gerade eine Sekante zum Kreis
c) x<-2,25 und x>+4 ist die Gerade Passante zum Kreis

Wählt man aus der Lösung b) ein geeignetes p aus, dann kann s berechenet werden und die Schnittpunkte A und B bestimmt werden. Dies habe ich oben bereits angegeben !

Versuch diese Lösung nachzuvollziehen, wenns nicht geht dann antworte nochmals!
Tschüss[/u]
Physikus
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Sep 2004 - 23:46:54    Titel:

Was zum Teufel ist die "Mitternachtsformel"?? Das hab ich noch nie gehört...
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