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partielle Integration
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> partielle Integration
 
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July
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 17:13:45    Titel: partielle Integration

Hallo,
ich hab seit diesem Jahr Mathe LK und wir haben momentan das Thema partielle Integration. Nächste Woche schreiben wir eine Klausur und ich habe leider noch nicht alles dabei so verstanden und komme irgendwie nie zu dem richtigen Ergebnis. Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen. Meine Aufgaben sind:
a) Integral von 0 bis 1 x²e^x dx
b) Integral von 0 bis 1 xwurzel 1+2x dx
die Ergebinisse hab ich schon vom Lehrer gesagt bekommen, doch ich komm einfach nicht auf die richtigen Schritte.

Schon mal vielen Dank im Vorraus July.
student
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 18:33:27    Titel:

zuerst mal ein beweis der part. integration:

F und G seien stammfkt von f und g

(F*G)' = f*G+ F*g (produktregel beim ableiten)

durch beidseitige integration erhält man:

F*G = interg(f*G)+ inter(F*g)

integ(f*G) = F*G - integ(F*g)

zu den Aufgaben:
es gibt mehrere tricks

man weiß dass sich e^x beim ableiten / differenzieren nicht ändern wird, x^2 kann man jedoch durch mehrmaliges differenzieren zu 1 machen. deswegen:

f = e^x; G=x^2 siehe formel oben

integr(x^2*e^x) = e^x(stammfkt von e^x)*x^2-int(2x*e^x)dx

jetzt verwendet man den selben trick für das zweite integral (int(2x*e^x):

= e^x*x^2-(2x*e^x - int(2*e^x)dx) = e^x*( x^2 - 2x +2)

jetzt brauchst du nur noch einsetzen.

zum 2.

wurzeltherme verschwinden nicht durch ableiten, wohl aber x. also

int (x*sqrt(1+2x)) = x * (2/3)*(1/2)*(1+2x)^3/2 - int ( 1/3 * (1+2x)^3/2)

= 1/x *x * (1+2x)^3/2 - 1/3 * 2/5 * 1/2 * (1+2x)^5/2)

= ((3x-1)*(1+2x)^3/2) / 15


es gibt da noch andere tricks z.b. einsertrick:

int (ln(x)) = int (1*ln(x))

f=1; G=ln(x);

= x*ln(x) - int (x*(1/x) = x*ln(x) - int 1^= ln(x)*(x-1)

erzeugungstrick: wenn die funktionen beim ableiten sich selbst ergeben (trig, e, hyperb.)

int ((cos(x)))^2 = int (cos(x)*cos(x))

f=cos(x) G= cos(x)

= sin(x)*cos(x) - int ((-sin(x))^2)

sin(x)^2 =1-cos(x)^2

sin(x)*cos(x) + int(1-cos(x)^2)= sin(x)*cos(x) + x - int(cos(x)^2) <- das gesuchte integral wurde erzeugt. nun kann man es auf die andere seite der gleichung bringen, dann steht:

2*int( cos(x)^2)= sin(x)*cos(x)+x

int (cos(x)^2)= (sin(x)*cos(x)-x)/2 oder mit sin(x)*cos(x)= 0.5*sin(2*x)

= (sin(2x)-2x)/4


falls du noch fragen hast nur zu
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 18:36:05    Titel:

Also:

beim partiellen Integrieren mußt du die beiden Faktoren im Integral mit v und u' bezeichnen (oder u und v' wie du willst, ich bleib bei ersterem). Man wählt nun den ungestrichenen Teil, in dem falle das v so, daß ich den Term durch genügen oftes ableiten zu einem konstanten Term verwandeln kann. Der andere Term, u' sollte dabei beim Integrieren möglichst gleich bleiben, was in diesem Falle bei e^x der fall ist.

x^2 kann ich durch 2 maliges ableiten zu einer 2 mutieren lassen also wird das mein v.

nun Schreibt man sich am besten daneben noch die fehlenden Größen: v'=2x und u=e^x.

So, nun gehts nach der ableitungsformel: int(v*u')=u*v-int(v'*u)

d.h. =e^x*x²-int(2x*e^x)dx

Jetzt kann man das integral immer noch nicht lösen also muß ich nochmal partiell ableiten (nämlich das 2. integral, ebenfalls 2x=v, e^x=u'):

Neues u=e^x, neues v'=2

int(2x*e^x)dx=e^x*2x-int(2*e^x)dx

Letzes Integral lässt sich jetzt lösen: int(2*e^x)=2*e^x

also:

int(2x*e^x)dx=e^x*2x-2*e^x

jetzt kann man das integral bei der 1. Partiellen Integration ersetzen:

int(x²*e^x)=x²*e^x-(e^x*2x-2e^x)

noch ein wenig ausklammern:

=e^x*(x²-2x+2)

So jetzt grenzen einsetzen und fertig...

Wenn noch fragen, dann posten ansonsten viel spaß ;)

Gruß Weasel
July
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 19:56:32    Titel: partielle Integration

Hi,
vielen vielen Dank an euch beide, das hat mir sehr geholfen. Ich habe jetzt auch meinen Fehler herausgefunden und eine Rechenweise mit der ich leichter zurecht komme.
Allerdings habe ich auch noch einen Fehler, b.z.w. ich versth es nicht, bei Student entdeckt:
zum 2.

= 1/x *x * (1+2x)^3/2 - 1/3 * 2/5 * 1/2 * (1+2x)^5/2)

müsste es nicht eigentlich heißen: 1/3*x*... ??

Aber trotzdem vielen Dank an euch beide.
Gruss July.
student
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Sep 2004 - 21:40:59    Titel:

ja, da hast du recht.
jasmina
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Sep 2004 - 17:12:51    Titel:

Hallo Leute,
kann mir jemand bei der Lösung díeser Aufgabe helfen Sad
Hier scheinen einige Matheprofis zu sein...

f(x)= (3x³-2x²)lnx

wär euch echt dankbar.
student
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Sep 2004 - 18:04:41    Titel:

also:

int ( v'*w) = v*w - int ( v*w' )

v' = 3x³-2x²

w = ln(x)

int ((3x³-2x²)*ln(x)) = (3/4 * x^4 - 2/3 * x³)* ln(x) - int((3/4 * x^4 - 2/3 * x³)/x)

= (3/4 * x^4 - 2/3 * x³)* ln(x) - 3/16 * x^4 + 2/9 * x³
Juli
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Nov 2004 - 14:57:24    Titel: hab mal wieder ein Problem...

Hallo,
ich komm irgendwie bei der Aufgabe nicht weiter, dabei ist sie glaub ich gar nicht mal so schwer.
Embarassed
Vielleicht kann mir jemand von euch noch mal helfen.

f(x)= sin(x)*cos(x)

f(x)= Wurzel aus 2+3x

Die Aufgabe dazu lautet: Bestimme Df(x) und gib einen Stammfunktionsterm F(x) zu f(x) an Exclamation

die zweite Aufgabe habe ich schon gelöst und bin auf das Ergebnis:
F(x)=2x^2/3 +c
ist das richtig? Question

Grüße July.
suedlandgesicht
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Anmeldungsdatum: 08.01.2006
Beiträge: 1
Wohnort: Duisburg

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2006 - 16:34:52    Titel:

hallo ..

ich muss bis nächste Woche ein referat über partielle Integration halten
beweis etc. ich weis nicht wo ich anfangen und wie ich das ganze gestallten kann, vielleicht könnt ihr mir ja weiter helfen ..
danke
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