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Algebra Kreisgleichung
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gingerswelt
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Anmeldungsdatum: 19.09.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 16:20:37    Titel: Algebra Kreisgleichung

Hallo zusammen,

Gegeben ist folgende Kreisgleichung:
x^2 + y^2 = 25

In dem Kreis befindet sich eine Sehne, deren Mittelpunkt A folgende
Koordinaten besitzt:
A(3,5; -0,5)

Gesucht ist die Geradengleichung, die durch die Sehne geht.

Mein Lösungsansatz:
Mittelpunkt bedeutet, es gibt zwei gleich große Strecken.
Mit den Kreispunkten B und C ergibt sich der Betrag der Strecken
AB und AC

|AB| = |AC|

Wenn ich die Rechnung auflöse, erhalte ich eine Gleichung mit
4 Unbekannten (xc, yc, xb, yb). Was soll ich damit machen?
Gibt es vielleicht einen eleganteren Weg?

Ich bitte um Lösungsvorschläge.

Vielen Dank
ginger
Kölschstange
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Anmeldungsdatum: 05.02.2006
Beiträge: 36
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 19:03:49    Titel:

Meine Idee ist die folgende:

Eine Sehne ist eine beliebige Gerade durch einen Kreis.
Ihr Mittelpunkt ist durch A = (3.5,-0.5) definiert.
Der Abstand von A zu den beiden Kreispunkten B und C muss also gleich sein. Soweit warst Du auch schon.

Da wir eine Gerade haben muss die Bewegung in x- bzw. y-Richtung (ich nenne sie mal dx und dy) von A zu den Punkten B und C jeweils gleich sein, bis auf das Vorzeichen. Also:
B = (3.5+dx , -0.5+dy)
C = (3.5 - dx , -0,5 - dy)
Beide Punkte müssen außerdem auf dem Kreis liegen, also eine gültige Lösung sein für:
x²+y²=25

So, jetzt machen wir ein hübsches Gleichungssystem daraus:
(3.5+dx)² + (-0.5+dy)² = 25
(3.5-dx)² + (-0.5-dy)² = 25

Ausmultiplizieren (hier zeigt sich wahrscheinlich gerade, dass ich ein Stümpermathematiker bin):

3.5²+7dx+dx² + 0.5²-dy+dy²=25
3.5²-7dx+dx² + 0.5²+dy+dy²=25

So, jetzt die erste minus die zweite Gleichung:
14 dx -2dy = 0
dx = 1/7 dy

bzw. dy/dx = 7, dass ist die Steigung b.

Nun brauchen wir den Ordinatenabschnitt. Hierzu benutzen wir die allgemeine geradengleichung y = a+bx und setzen den punkt A ein.

-0.5 = a + 7 * 3.5
a = -25

Die Geradengleichung ist: y = -25 + 7x

Na, das hab ich aber fein gemacht, oder? Die sieht auch in Excel ganz gut und richtig aus.
gingerswelt
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Anmeldungsdatum: 19.09.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2006 - 09:12:14    Titel: Gratulation

Weltklasse! Ich danke dir.

Demnach gilt die 1. Ableitung einer Funktion im Punkt X entspricht
dem Anstieg der Tangentengleichung im Punkt X. Da hier die
Tangente gleich dem Graph ist, kann ich den Anstieg gleichsetzen.
Das ist wirklich eine gute Idee.

Ein anderer Gedanke:
Heute morgen fiel mir ein, dass man das vielleicht auch über die
Lotgleichung lösen könnten. Soll heißen:
1. Lotgleichung zum Punkt A durch den Kreismittelpunkt O(0;0).
-0,5 = mk * 3,5 + 0
mk = -1/7

2. Anstieg der im rechten Winkel angelegten Sehne
ms = -1/mk
ms = 7

3. ms in Sehnengleichung einsetzen und n ausrechnen
-0,5 = 7*3,5 + n
n = -25

Und siehe da meine Gleichung stimmt mit deiner überein.
Oh man sind wir gut Wink)

Grüße
ginger
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