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Integral von 1/(sqrt(1-x^2))
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J.Caesar
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Anmeldungsdatum: 27.10.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 20:24:43    Titel: Integral von 1/(sqrt(1-x^2))

Hallo,

wollte gerade mal das Integral von

1/(sqrt(1-x^2)) berechnen, ich weiss ja,dass die Lösung arcsin(x) ist, weiss aber leider nicht wie ich darauf komme.

Kann mir jemand dabei helfen.

MFG
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 20:30:30    Titel:

öh.. auch nicht gerade so hilfreich. die substitution ist recht abgedreht:
http://www.mathdraw.de/index.php?input=int%281%2F%28sqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%29%3D%3F%0D%0A&lang=de
J.Caesar
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Anmeldungsdatum: 27.10.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 20:36:34    Titel:

gehts nicht auch irgendwie einfacher?????
serie2685
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Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 50
Wohnort: Kassel

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 21:52:10    Titel:

Hi J.Caesar!

Das ist in der Tat so ne Sache. Leichter zu zeigen ist, dass die Ableitung von arcsin(x), 1/(sqrt(1-x^2)) ist (was letztlich das selbe ist, wie die Bestimmung des Integrals).

Oder aber du musst dich an der "abgedrehten" Substitution versuchen...

Ersteres machst du folgendermaßen:

y=arsin(x) (nach x auflösen)

sin(y)=x (nach x Ableiten (d/dx))

cos(y)*y'=1 (y' resultiert aus der Kettenregel)

Nach y' auflösen:

y'=1/cosy (das erstmal im Kopf behalten)

Als nächstes macht man sich klar, dass y ein WINKEL ist, zu dem wir den Sinus finden wollen (s.o.):

sin(y)=x/1 und da sin auch immernoch GK/H ist folgt daraus:

GK=x
H=1
AK (Pythagoras)= Sqrt(1-x^2)

=> cos(y)=Sqrt(1-x^2)/1

Einsetzen in y'=1/cosy

y'=1/Sqrt(1-x^2)/1, qed

MfG
serie2685
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Anmeldungsdatum: 04.02.2006
Beiträge: 50
Wohnort: Kassel

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 21:56:31    Titel:

Nochmal Hallo!

Eine Anmerkung zu dem Link: Das Ergebnis ist Schwachfug!!!

Die Stammfunktion ist nicht arcos(-x) sondern arcsin(x)!!!
Winni
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 22:22:45    Titel:

Hallo !

Verwende die Kettenregel für Umkehrfunktionen.

Sei f(g(x)) = x.
=> f'(g(x))g'(x) = 1
=> g'(x) = 1/f'(g(x))

Mit f(x) = sin(x) und g(x) = arcsin(x) erhältst Du
unter Berücksichtigung, dass cos(x) = (1 - sin²(x))^0,5 ist,
den Ausdruck für g'(x) .
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