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n-te ableitung
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dschard
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 21

BeitragVerfasst am: 07 Feb 2006 - 23:39:49    Titel: n-te ableitung

kann mir jemand die n-te ableitung zu der funktion (1+x²)/(1-x²) nennen?

ich komme einfach nicht darauf Sad .....
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2006 - 00:56:58    Titel:

f(x)=(1+x²)/(1-x²)

f'(x)=2x(1-x²)+2x(1+x²) / (1-x²)²
= 4x / (1-x²)²

f''(x)= 4(1-x²)²+4x(1-x²)(1+x²) / (1-x²)^4
= (1-x²)(4(1-x²)+4x(1+x²) / (1-x²)^4
= 4(x³-x²+x+1) / (1-x²)³

f'''(x)= 4(3x²-2x+1)(1-x²)³-4(x³-x²+x+1)(-6(1-x²)²) / (1-x²)^6
= 4(3x²-2x+1)(1-x²)+24(x³-x²+x+1) / (1-x²)^4
= 4(3x²-2x+1-3x^4+2x³-x²)+24(x³-x²+x+1) / (1-x²)^4
= -12x^4+8x³+8x²-8x+4+24x³-24x²+24x+24 / (1-x²)^4
= -12x^4+32x³-16x²+16x+28 / (1-x²)^4
= 4(-3x^4+8x³-4x²+4x+7) / (1-x²)^4

Hm, also ich hab das selbst noch nie versucht, aber ich würd mal sagen, das auf jeden fall der Nenner immer um eine Potenz ansteigt, während im Zähler der Faktor 4 immer bleibt... das ganz-rationale hinter der 4 scheint immer komplexer zu werden, da mehr höhere exponenten dazu kommen.
Das einzige was mir auffällt, ist das der höchste exponent auch n+1 ist...

also
nte-Ableitung = 4(ax^(n+1)+bx^n+cx^(n-1)+....+zx^0) / (1-x²)^(n+1)

vielleicht kann ja hier jemand was zu a,b,c,....,z sagen.

grüße
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2006 - 10:47:00    Titel:

Hallo !

f(x) = (1+x²)/(1-x²) = 2/(1-x²) - 1 = -1 + 2*Summe(k=0 bis unendlich)x^(2k)

n-te Ableitung von x^(2k) = (x^(2k-n))*(2k)!/(2k-n)!

Vielleicht genügt die Reihenentwicklung ja, denn 'ne geschlossene Form scheint reichlich umständlich zu sein.
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