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Knobelaufgabe (Wo ist der Fehler)
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2006 - 11:42:21    Titel: Knobelaufgabe (Wo ist der Fehler)

Gegeben ist ein Kreis vom Radius 1. Die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Eckpunkte auf dem Rand des Kreises ist Sqrt(3)=Wurzel(3). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Sehne in diesen Kreis zu zeichnen die länger ist als die Seite des Dreiecks?


Lösung 1. Eine Sehne ist durch ihren Mittelpunkt eindeutig (mit Ausnahme des Durchmessers) bestimmt. Liegt der Mittelpunkt im Inkreis des Dreiecks, so ist die Sehne länger, also ist P(Sehne>Seite)=A(Inkreis)/A(Kreis)=(1/4)/1=1/4.


Lösung 2. Wir wählen einen beliebigen Punkt auf dem Rand des Kreises und Zeichnen eine Verbindungslinie zum Mittelpunkt, dann tragen wir den Winkel 0°<a<360° ab. Die beiden Schnittpunkte sind die Endpunkte einer Sehne. Ist nun 120°<a<240°, so ist die Länge der Sehne größer als die der Seite, also ist P(Sehne>Seite)=120/360=1/3.


Wo ist der Fehler?
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Anmeldungsdatum: 27.11.2005
Beiträge: 2016
Wohnort: Dortmund

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2006 - 13:43:35    Titel: Re: Knobelaufgabe (Wo ist der Fehler)

Gauss hat folgendes geschrieben:
Gegeben ist ein Kreis vom Radius 1. Die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Eckpunkte auf dem Rand des Kreises ist Sqrt(3)=Wurzel(3). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine Sehne in diesen Kreis zu zeichnen die länger ist als die Seite des Dreiecks?


Lösung 1. Eine Sehne ist durch ihren Mittelpunkt eindeutig (mit Ausnahme des Durchmessers) bestimmt. Liegt der Mittelpunkt im Inkreis des Dreiecks, so ist die Sehne länger, also ist P(Sehne>Seite)=A(Inkreis)/A(Kreis)=(1/4)/1=1/4.


Lösung 2. Wir wählen einen beliebigen Punkt auf dem Rand des Kreises und Zeichnen eine Verbindungslinie zum Mittelpunkt, dann tragen wir den Winkel 0°<a<360° ab. Die beiden Schnittpunkte sind die Endpunkte einer Sehne. Ist nun 120°<a<240°, so ist die Länge der Sehne größer als die der Seite, also ist P(Sehne>Seite)=120/360=1/3.


Wo ist der Fehler?



Das Problem ist, dass unser Zufallsereignis nicht genau definiert ist. Die Frage ist wie die Sehne ausgewählt wird, oder in heutiger Terminologie, welche Größe(n) der Zufallsgenerator liefert. Wenn er einen Punkt innerhalb des Kreises als Sehnenmittelpunkt liefert ist Lösung 1 völlig korrekt. Sucht er aber zufällig 2 Punkte auf dem Kreisumfang, ist Lösung 2 korrekt.

Im Falle 1 wäre Lösung 2 nicht korrekt und im Fall 2 Lösung 1.

Erklärung:

Das Ereignis durch zufällige Auswahl 2er Punkte auf dem Kreisumfang eine Sehne zu definieren erzeugt bestimmte Sehnen doppelt. Wenn also der Zufallsgenerator die Sehne so konstruiert dass er zufällig 2 Punkte auf dem Kreis auswählt dann werden bestimmten Sehnen mehrfach produziert, das bedeutet aber dass nicht alle Punkte im Kreis als Mittelpunkte gleichwahrscheinlich wären, eine Annahme die wir stillschweigend voraussetzen, die aber eben nicht stimmen muss.

Konstruieren wir die Sehne aber durch zufällige Auswahl des Mittelpunkts, dann sind alle Sehnen gleichwahrscheinlich und Lösung 1 ist korrekt.

Mit freundlichen Grüßen
ein
Bürger


Zuletzt bearbeitet von Bürger am 10 Feb 2006 - 13:47:35, insgesamt einmal bearbeitet
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2006 - 13:47:08    Titel:

Wow, ich bin begeistert, ich hätte nicht gedacht, dass die Lösung so schnell kommt. Razz
Bürger
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 27.11.2005
Beiträge: 2016
Wohnort: Dortmund

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2006 - 13:59:06    Titel:

Gauss hat folgendes geschrieben:
Wow, ich bin begeistert, ich hätte nicht gedacht, dass die Lösung so schnell kommt. Razz


Die Aufgabe war aber gut. Warnt sie uns doch davor, stillschweigend etwas als selbstverständlich anzunehmen, was gar nicht selbstverständlich ist.


Mit freundlichen Grüßen
ein
Bürger
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2006 - 11:39:03    Titel:

Diese "Aufgabe" ist unter dem Namen "Bertrandsches Paradoxon" zu Diskussion des Prinzips "vom unzureichendem Grund" bekannt, in dem es darum geht, wie eine eigentliche oder nicht eigentliche Gleichverteilung auszusehen hat. Nur zur Info [Rüger, Test und Schätztheorie, Band I, S. 213-216] Smile Man kann nämlich auch noch weitere Annahmen machen, sodass auch andere Werte für die WSK rauskommen können.
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