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Integration durch Substitution
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Anthony
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Anmeldungsdatum: 15.01.2006
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2006 - 17:21:15    Titel: Integration durch Substitution

Hallo zusammen!

Ich habe hier eine Funktion, die ich aufleiten muss, um ein uneigentliches Integral bestimmen zu können.

Ich bin ein Stück weit gekommen, aber mir fehlen noch zwei-drei Schritte bis zum Endergebnis. Ich wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet!

f(x) = (a*e^x) / (1+e^x)²

So, das ist die Funktion, die integriert werden muss. Ich habe mich für die Substitution entschieden, ich glaube auch, dass es richtig ist. So weit bin ich gekommen:

Integral (a*e^x) / (1+e^x)² dx = Integral (a*e^x) * (1+e^x)^-2

= a Integral e^x * (1+e^x)^-2

Ich habe also ein Produkt aus dem Quotienten gemacht, und die Konstante a vor das Integral gestellt.

Wie soll ich denn nun weitermachen?!?!

Gruß,

Anthony
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2006 - 18:02:16    Titel:

Hallo !

Tja, Du solltest das auch durchführen, wofür Du Dich entschieden hattest - von selbst gehts nicht ! Wink

Substitution: u = 1+e^x => e^x = u-1
du/dx = e^x = u-1 => dx = du/(u-1)

=> Integral((a*e^x) / (1+e^x)²)dx = a*Integral((u-1)/u²)(du/(u-1)) =
= a*Integral(1/u²)du = -a/u + Konstante = -a/(1+e^x) + Konstante

TEST durch Ableitung !
Anthony
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Anmeldungsdatum: 15.01.2006
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2006 - 18:40:00    Titel:

Ich habe ziemlich lange rumprobiert, aber irgendwie nichts Gescheites rausbekommen. Naja, wie dem auch sei, vielen Dank für deine Antwort! Smile
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2006 - 19:34:15    Titel:

Hallo !

Du sollst ja nicht rumprobieren, sondern verstehen, dann gibts kein Problem. Wink

e^x = u-1
dx = du/(u-1)

Der Zähler von (u-1)/u² und der Nenner von du/(u-1) kürzen sich weg !

Integral((a*e^x) / (1+e^x)²)dx = a*Integral((u-1)/u²)(du/(u-1)) =
= a*Integral(1/u²)du = -a/u + Konstante = -a/(1+e^x) + Konstante

Ansonsten ist das Ganze nur eine reine Umsetzerei zwischen x und u.
Anthony
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Anmeldungsdatum: 15.01.2006
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2006 - 19:41:17    Titel:

Hehe, danke schön. Das mit dem rumprobieren war auf mich bezogen, auf die Aufgabe direkt, nicht auf deine Lösung, die hatte ich schon verstanden^^ aber sehr nett, dass du dir nochmal die Mühe gemacht hast, es zu erklären Smile
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