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ungleichung, vollst. induktion
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> ungleichung, vollst. induktion
 
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Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2006 - 21:45:32    Titel: ungleichung, vollst. induktion

hi
ich weiß, das problem ist zwar ziemlich trivial, dennoch würd ich gern wissen, wie man da ran gehen muss.

Behauptung: x²>x+1 wenn x>1
das möcht ich gern mit vollständiger induktion beweisen (auch wenn andere beweismethoden vielleicht besser wären).

x=2: 2²>2+1 (w)

x->x+1: (x+1)²>x+2 soll gelten

beweis: x²+2x+1>x+2
x² > -x+1

Normalerweise guckt man ja bei vollständiger induktion, dass man die behauptung einsetzt, aber wie soll ich denn jetzt x²>x+1 benutzen?

danke für jede antwort!

grüße
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2006 - 22:40:01    Titel:

oke, aber nehmen wir mal an das könnte man so nicht einfach sehen. wie muss ich deiner weiter vorgehen?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2006 - 01:58:43    Titel:

Behauptung: x²>x+1 wenn x>1
das möcht ich gern mit vollständiger induktion beweisen Sad
ALSO:
1) DIESE BEWEISMETHODE IST NUR FÜR BEHAUPTUNGEN DER FORM:
"FÜR ALLE NATÜRLICHEN ZAHLEN n GILT:......"
(bzw. für alle n > n1 gilt...)

Behauptungen, die sich zB auf beliebige reelle Zahlen x beziehen, können nie mit VOLLSTÄNDIGER INDUKTION bewiesen werden.

2) Das gewählte Beispiel ist nicht gerade ein geeignetes Musterbeispiel. TROTZDEM:

3) INDUKTIONSANFANG:
n=2: 2²>2+1 (w)

4) INDUKTIONSSCHRITT ("SCHLUSS VON n AUF n+1")
Hier musst du - ausgehend von n² > n+1 - zeigen, dass daraus dann
(n+1)²>n+2 folgen muss.

DAS KANN FORMAL ETWA SO GEHEN:

n² > n+1 ====> auf beiden Seiten +(2n+1) ===>

n² + (2n+1) > n+1 + (2n+1) ===> etwas umordnen ===>

(n + 1)² > n + 2 + 2n > n + 2
(der letzte Schritt gilt, weil nach Vor. ja n>1 ist und durch das Weglassen von 2n der Term n+2+2n ja nochmal verkleinert wird.
Ergebnis also: wenn n² > n+1 richtig ist, dann wird auch
(n + 1)² > n + 2 richtig sein.

PROBIER SOWAS MAL MIT DEM BEWEIS EINER ETWAS INTERESSANTEREN UNGLEICHUNG Smile
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2006 - 02:42:26    Titel:

danke für deine mühen!

noch ne kurze frage: angenommen man hat eine falsche behauptung und man merkt dies noch nicht beim induktionsanfang, wann wird man es dann bemerken?
schafft man dann es einfach nicht den induktionsbeweis zu führen, weil man aus der vorraussetzung nicht die behauptung formen kann?

ein beispiel (wo ich den fehler herausfordere):
Vorraussetzung 2^n < n+2
Anfang n=0: 2^0 < 0+2 (w)
Behauptung: 2^(n+1) < n+3

Wenn ich jetzt versuche aus 2^n<n+2 das 2^(n+1)<n+3 zu folgern, dann mag das einfach nicht klappen, da ich ja 2^n<1 addieren müsste und 2^n<1 stimmt ja nicht, da laut Anfang 2^0<2, dann kann 2^n nicht kleiner als 1 sein...
hab ich damit schon gezeigt dass 2^n<n+2 falsch ist, oder konnte ich einfach nur nicht zeigen das es stimmt? (was ja nicht heißt dass es nicht stimmen könnte)

vielen dank nochmal!

grüße
kippah
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2006 - 03:59:50    Titel:

du kannst dann zb irgendein gegenbeispiel angeben Wink
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2006 - 04:18:34    Titel:

ich zitiere mich mal selbst:
Turis hat folgendes geschrieben:
und man merkt dies noch nicht beim induktionsanfang


es geht mir schon darum, dass ich nicht einfach ein gegenbeispiel angeben kann. jetzt ist der beweis noch trivial, aber irgendwann halt nicht mehr, daher frag ich ganz allgemein mal nach.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2006 - 12:33:54    Titel:

ZITAT: ein beispiel (wo ich den fehler herausfordere):
Vorraussetzung Sad 2^n < n+2 <== DAS IST DOCH DIE BEHAUPTUNG, die du zu beweisen versuchst?

Anfang n=0: 2^0 < 0+2 (w)
Behauptung: Sad 2^(n+1) < n+3 <== hier steht die ANNAHME(Folgerung), die sich aus obiger Behauptung ergeben müsste.

Wenn ich jetzt versuche aus 2^n<n+2 das 2^(n+1)<n+3 zu folgern Smile (GENAU SO! siehe oben)
dann mag das einfach nicht klappen, da ich ja 2^n<1 Sad addieren müsste
(MUSST DU NICHT ERST MAL AUF BEIDEN SEITEN DIE GLEICHEN WERTE ADDIEREN, DAMIT DIE AUSSAGE/UNGLEICHUNG WAHR BLEIBT?)

Arrow DU KÖNNTEST DIE UMGEKEHRTE BEHAUPTUNG
2^n > n+2 .....ALS MUSTERBEISPIEL VERWENDEN, UM ZU ZEIGEN, DASS DER INDUKTIONSANFANG NICHT WEGGELASSEN WERDEN DARF:
Induktionsschritt:
2^n > n+2 <=== beide Seiten mal 2 ===>
2^(n+1) > 2*(n+2) = n + 3 +(n+1) > n + 3 , also
aus 2^n > n+2 folgt 2^(n+1) > n+3 .....ABER DAS HÄNGT NOCH GANZ SCHÖN IN DER LUFT
(die ursprüngliche Behauptung stimmt ja nicht für n=0,n=1, n=2)
Erst mit einem gefundenen Anfang (hier n=3) ist der Induktionsbeweis vollständig.

ABSCHLIESSEND:
Wenn dein Beweisversuch einfach nicht hinhaut, ist die beste Methode, wie kippah vorschlägt, ein einziges Gegenbeispiel zu finden (dann ist die ALL-Behauptung erledigt).
Ansonsten musst du deinen Rechenkünsten trauen (wenn der Versuch einfach immer fehlschlägt, dann sind die anderen schuld, sprich, die Behauptung wird falsch sein)
Oder du versuchst zB die Gegenbehauptung zu verifizieren... Smile
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2006 - 18:34:06    Titel:

Versteh ich das richtig, dass du die Falschheit der ersten Aussage (2^n < n+2) dadurch bewiesen hast, dass du das Gegenteil als wahr bewiesen hast?

Aber es stimmt doch dass die Aussage schon als falsch bewiesen wäre, wenn ich aus der Behauptung nicht die Folgerung folgern kann, oder? Da bin ich mir jetzt nicht so klar, ob du das so meinst.

Danke!

Grüße
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2006 - 01:37:09    Titel:

ZITAT:
Aber es stimmt doch dass die Aussage schon als falsch bewiesen wäre, wenn ich aus der Behauptung nicht die Folgerung folgern kann, oder? Exclamation JA Exclamation
Da bin ich mir jetzt nicht so klar, ob du das so meinst. Arrow SIEHE UNTEN : die Antwort darauf steht unter Nummer 2) !

ICH HATTE DREI MÖGLICHE VARIANTEN GENANNT.
NACHFOLGEND DIE kOPIE, NEU MIT NUMMERIERUNG:

ABSCHLIESSEND:
1) Wenn dein Beweisversuch einfach nicht hinhaut, ist die beste Methode, wie kippah vorschlägt, ein einziges Gegenbeispiel zu finden (dann ist die ALL-Behauptung erledigt).
2) Arrow Siehe oben . Ansonsten musst du deinen Rechenkünsten trauen (wenn der Versuch einfach immer fehlschlägt, dann sind die anderen schuld, sprich, die Behauptung wird falsch sein) (IST DAS WIRKLICH NICHT GENÜGEND KLAR, WAS ICH MEINE Question
3) Oder du versuchst zB die Gegenbehauptung zu verifizieren...
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 25 Feb 2006 - 01:40:05    Titel:

hm oke, danke. ich guck mal ob ich klar komme und frag dann lieber nochmal nach anstatt jetzt hier alle wenns und abers durch zu gehen Wink

grüße
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