Gleichung

gaffer · Senior Member Anmeldungsdatum: 11.02.2006 Beiträge: 682

Hallo ich habe da mal eine Aufgabe

Für welche (a;b) reeller Zahlen gilt die Ungleichung 1/((a+1/b)*(b+1/a)) <= (kleiner gleich) 1/4

die Ungleichung ist mit a*b e/ (Element von (durchgestrichen)) {0;-1} definiert

Was bedeutet das soll ich für a und b 0 einsetzten oder wat???

Oder weil kein Element von = nicht einsetzen

Hilfe!!!

Gruß Mr. gaffer (nicht gaffer, sprich tscheffer)
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Winni · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.08.2005 Beiträge: 3612

Hallo !

Wenn ich Deine Ausführungen richtig verstanden habe, dann sollst Du feststellen,
für welche reellen Werte a und b die Ungleichung 1/((a+1/b)*(b+1/a)) <= 1/4 erfüllt ist.

Multiplizieren wir doch 'mal (a+1/b)*(b+1/a) einfach aus !

(A) a=0 oder b=0 nicht möglich weil 1/a bzw. 1/b dann nicht definiert ist
(B) (a+1/b)*(b+1/a) = -((-a*b) - 2 + 1/(-a*b)) = -((-a*b)^0,5 - (-a*b)^(-0,5))² für a*b < 0 bzw. -a*b > 0
(C) (a+1/b)*(b+1/a) = a*b + 2 + 1/(a*b) = ((a*b)^0,5 + (a*b)^(-0,5))² für a*b > 0

Die Aufgabe somit in umgeformter Darstellung:

(B) -1/((-a*b)^0,5 - (-a*b)^(-0,5))² < 0 < 1/4
=> für alle a,b für die a*b < 0 gilt, ist diese Ungleichung erfüllt

(C) 1/((a*b)^0,5 + (a*b)^(-0,5))² <= 1/4 | Kehrwert und Wurzel ziehen
<=> (a*b)^0,5 + (a*b)^(-0,5) >= 2
<=> ((a*b)^0,25 - (a*b)^(-0,25))² >= 0
<=> (a*b)^0,25 >= (a*b)^(-0,25)
<=> a*b >= 1/(a*b)
<=> a*b >= 1
=> für alle a,b für die a*b >= 1 gilt, ist diese Ungleichung erfüllt

Zusammenfassung:

Es gilt 1/((a+1/b)*(b+1/a)) <= 1/4 für a,b reell genau dann,
wenn a*b < 0 oder a*b >= 1 .

EDIT: Habe bei der Zusammenfassung 1/... ergänzt.