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Nullstellen
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Witch
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Anmeldungsdatum: 09.10.2005
Beiträge: 131

BeitragVerfasst am: 12 März 2006 - 21:26:09    Titel: Nullstellen

So ich hbae ne Frage zum Thema "NULLSTELLEN"

Wieso kann eine Funktion n-ten Gerade höchstens n-Nullstellen haben??
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 12 März 2006 - 22:12:39    Titel:

Weißt Du, was Linearfaktoren sind?
Witch
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Anmeldungsdatum: 09.10.2005
Beiträge: 131

BeitragVerfasst am: 12 März 2006 - 23:05:49    Titel:

klar das ist doch x-Nullstelle
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 12 März 2006 - 23:35:24    Titel:

Im Prinzip ja.
Für jede Nullstelle a eines Polynomes existiert ein Linearfaktor (x-a) im Polynom(, den man mit Polynomdivision rausziehen kann).
Wenn man jetzt annimmt, daß ein Polynom n-ten Grades genau n+1 Nullstellen hat, dann läßt sich das Polynom in genau n+1 Linearfaktoren der Form (x-a_i) zerlegen.
Dann muß das Polynom aber auch das Produkt dieser Faktoren sein. Da in jedem Faktor aber ein x vorkommt, müßte das Produkt den Grad n+1 haben, was der Voraussetzung widerspricht. Und damit ist die Annahme immer falsch.

Das gilt natürlich genauso, wenn man annimmt, daß das Polynom noch mehr Nullstellen hat. Also kann es maximal n Nullstellen haben.
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