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Vollständige Induktion
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milow
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Newbie


Anmeldungsdatum: 23.09.2004
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 23 Sep 2004 - 16:02:42    Titel: Vollständige Induktion

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei einer vollständigen Induktion.
Aufgabe:

n
∑ 1/k(k+1) = 1-(1/n+1)
k=1

Vielen Dank
Faulus Maximus
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Sep 2004 - 22:47:17    Titel:

Hi,

erstaml....meinst du das wirklich so , wie du die aufgabe geschrieben hast???

n
∑ 1/k(k+1) = 1-(1/n+1)
k=1

Ich denke es sollte heissen,

n
∑ 1/(k(k+1)) = 1-(1/(n+1))
k=1

Denn so klappt die rechnung...

1.) 1-(1/(n+1)) <=> (n+1)/(n+1)-(1/(n+1)) <=> n / (n+1)
=>
n
∑ 1/(k(k+1)) = n/(n+1)
k=1

(wir nehmen nun an, unser geschlossener Ausdruck sei richtig, dies wollen wir ja nun beweisen)

Induktionsanfang: n = 1
=> 1/(1*(1+1)) = 1 / (1+1)
<=> 1/2 = 1/2
Stimmt also...

Induktionsschluss: (n -> n+1)
n+1 n
∑ 1/(k(k+1)) = ∑ 1/(k(k+1)) + 1/((n+1)(n+2))
k=1 k=1

= n/(n+1) + 1/((n+1)(n+2))
= (n+1)/(n+2)
Stimmt also auch fuer n+1!!!!

Da der geschlossene Ausdruck fuer n = 1 und n = n+1 gilt, ist der geschlossene Ausdruck richtig.

cu....
Faulus Maximus
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Sep 2004 - 22:51:45    Titel:

ups...

Zitat:

Induktionsschluss: (n -> n+1)
n+1 n
∑ 1/(k(k+1)) = ∑ 1/(k(k+1)) + 1/((n+1)(n+2))
k=1 k=1


Sieht nen bissl kagge aus .p

sollte heissen..

n+1
∑ 1/(k(k+1))
k=1
<=>
n
∑ 1/(k(k+1)) + 1/((n+1)(n+2))
k=1

(Einfach das letzte glied (n+1) ausrechnen und auf die summe addieren )
und wir wollen ja zeigen, dass unser geschl. Ausdruck fuer die summe bis n gilt, also setzten wir einen schritt später..

n
∑ 1/(k(k+1)) = n/(n+1)
k=1

Hoffe hat geholfen...cu
burdon
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Sep 2004 - 18:03:36    Titel: vollständige induktion

Ihr scheint zu wissen von was ihr redet!

wie sieht es mit dieser Aufgabe aus?


Aufgabe:
Beweise mit hilfe des beweisverfahrens der vollständigen induktion die gültigkeit der aussage:
2+4+6+8+...+2n=n(n+1)


freu mich auf eure schnelle antwort
Web
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Sep 2004 - 20:42:32    Titel:

http://www.hixman.de/htdocs/studium/mathe/vollindi.html
http://www.mathematik.de/mde/fragenantworten/erstehilfe/induktion/induktion.html
Faulus Maximus
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Sep 2004 - 22:13:54    Titel:

Hi,

mit Induktion sollte es gehen, aber man kann es sich auch veranschaulichen.

Unser Mathelehrer in der 5 :D hat uns mal so eine Geschichte von Gauss erzählt, der sollte nämlich nachsitzen und alle Zahlen von 1 bis 100 summieren. (Du hast ja hier nur die geraden, aber geht genauso)

Also Gauss musste nachsitzen, und alle gerade Zahlen von 2 - 100 aufsummieren.
Er setzte sich hin und fing an aufzuschrieben:
2+4+6+.....+98+100
Dann setzte er die gleiche Reihe nocheinmal drunter, allerdings andersrum.
=>
002+004+006+.....+098+100
100+098+.....+006+004+002

Nun hatte er zwei Reihen, mit jeweils 50 Summanden,
und er hat jetz einfach das erste glied aus reihe1 plus das erste glied aus der unteren reihe addiert, ergibt 102.
Genauso ergibt das zweite glied der ersten reihe plus dem zweiten glied der zweiten reihe auch 102.
Beim dritten/vierten/etc. auch dasselbe.
=> Das n-te Glied aus Reihe1 plus dem n-ten Glied aus Reihe2 = 102

Also hat er 50*102 da stehen, aber die Riehen ja 2mal und er will nur das ergebnis einer Reihe haben. Deswegen rechnet er 50*102/2 = 50*51
= n*(n+1) , bei n=50 gliedern .p

Ja und so hat Gauss halt seinen Geschlossenen Ausruck fuer die
n
∑ (2k-2)
k=2
gefunden, und muss ihn ncoh durch
die vollständige Induktion beweisen .p

Muss aber jetzt auch was tun, schrieb morgen Klausur ,p

Wenn du echt nicht auf die Lösung kommst (musst genauso rechnen wie oben), kommt die Lösung morgen .p sry

cu....
Faulus Maximus
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Sep 2004 - 00:41:38    Titel:

erstma a nachtrag: .p
Zitat:

Ja und so hat Gauss halt seinen Geschlossenen Ausruck fuer die
n
∑ (2k-2)
k=2


muss heissen:
n+1
∑ (2k-2)
k=2

Denn sonst geht die Summe, wenn n = 50 , nur bis 98,
so aber bis 2*51-2 = 100

Nun noch der beweis, dass:
n+1
∑ (2k-2) = n(n+1)
k=2

1.Anfang: n=1
1+1
∑ (2k-2) = 2 = 1(1+1)
k=2
Für n = 1 stimmts also.

2.Induktionsende: n -> n+1
n+2
∑ (2k-2)
k=2
<=>
n+1
(∑ (2k-2)) + 2(n+2)-2
k=2

Nun setzten wir fuer:
n+1
∑ (2k-2) einfach wieder unsere Behauptung: n(n+1) ein
k=2

=> n(n+1)+2(n+2)-2 = n(n+1)+2n+2 = n²+3n+2 = (n+1)(n+2)
Für n -> n+1 stimmts also auch.
Denn wen Du in deinem Ausruck fuer n = n+1 einsetzt, kommt (n+1)(n+2) raus.

Da dein Ausdruck fuer n = 1 und n -> n+1 stimmt, ist er also bewiesen...

cu...
Gast







BeitragVerfasst am: 18 Okt 2004 - 19:15:27    Titel:

...für alle n>=1 gilt?

n
∑ (2i-1)^2 = n/3 (4n^2-1)
i=1

kann wer helfen?

der beweis stimmt bei mir net.
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