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Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit
 
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sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 20:08:12    Titel:

Also sind das zwei verschiedene Problame, oder was?!?!


Erstens auf lineare (un-)abhängigkeit prüfen und zweitens lagebeziheung?!?!

Ist das richtig so?!

Kannste mir trotzdem Ergbnisse für die 4 Fälle geben?!
Ich muss ja wissen, wie die ergbnisse aussehen, damit ich entscheiden kann, welcher Fall zurtrifft.
Och man scheiße.... ich hasse mathe....


Zuletzt bearbeitet von sheddy am 22 März 2006 - 20:34:35, insgesamt einmal bearbeitet
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 20:09:42    Titel:

ne. hier n Beispiel:

2 Vektoren:
a = (1/2); b = (2/1)

l * a + m * b = O

i) 1*l + 2*m = 0
ii) 2*l + 1*m = 0

Das Gleichungssystem lässt sich nur für l = m = 0 lösen. Daher sind die Vektoren a und b lin. unabhängig.



Bei Geraden:
g: x = a + l*b
h: x = c + m*d

ergibt sich bei g=h ein GS mit den beiden Variablen l und m. Die Geraden schneiden sich in einem Punkt, wenn es für l und m eine Lösung gibt. Anderenfalls sind sie parallel, windschief oder identisch.
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 20:38:28    Titel:

ja, okay! aber irgendwie bekomme ich immernoch nicht diese linearität mit der lagebeziehung zusammen!!

ich muss irgendwo noch hilfe holen/kaufen!
N43
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Anmeldungsdatum: 01.03.2006
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 20:50:17    Titel:

Hallo,

eine Gerade hat allgemein die Form g: x = o + s * u.
u ist der Richtungsvektor der Geraden.

Wenn du zwei Geraden
g: x = a + s * u
h: x = b + s * v

hast, dann sind a und b die Ortsvektoren, u und v die Richtungsvektoren.

Für das Lageverhalten gibt es im 3D-Raum 4 Fälle, die du in Bezug auf die lineare (Un-)Abhängigkeit erstmal auf zwei Fälle reduzieren kannst.

Sind die Richtungsvektoren linear abhänig, dann sind die Geraden parallel. Möglicherweise sind sie auch noch identisch, was im Prinzip nur ein Sonderfall von parallel ist. Linear abhänig ist hier nichts anderes als die selbe Steigung(unter Berücksichtigung der Richtung im Raum). Wenn sie identisch sind, muss der Ortsvektor von h auch in g liegen.

Die beiden anderen Fälle ergeben sich dann, wenn die Richtungsvektoren linear unabhänig sind. Im 3D-Raum schneiden sie sich dann oder berühren sich überhaupt nicht (windschief). Sie haben also entweder einen Schnittpunkt oder keinen.


N43
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 22:28:45    Titel:

jo danke!

Gibt es ein "Rezept" wie man an so eine Aufgabe rangehen kann?!?!

Lineare Abhängigkeit heißt also (nach euren Definitionen), dass der eine Richtungsvektor der einen Geraden nur ein vielfaches des Richtungsvektors der anderen Gerade ist. Ist dieses nicht erfüllt, ist es linear unabhängig.

bsp.: abhängig -> r = 2 +4s
bsp.: unabhän. -> r= 0

Richtig?


Also, wenn ich zwei Geraden vorgesetzt bekomme, wie gehe ich dann vor?
Ich weiß nicht, wie ich am besten anfange.
man muss auf soviel gleichzeitig achten.
Kannste mir nochmal helfen?! Laughing

nochwas:

1. schneidene geraden
2. windschiefe geraden
3. parallele geraden
4. identische geraden

beispiele:
1. r = 1 und s= 5 (genau eine lösung für r und s, oder?!)
2. fällt mir leider kein ergebnis ein!!!!!! da brauche ich noch hilfe (eigentlich, dürften beide geraden keinen punkt gemeinsam haben, oder?! Aber wie sehe dann ein Beispiel aus?! also wie könnte das ergebnis des LGS aussehen?!
3. fällt mir auch nichts ein! hier weiß ich gar nicht, wie das sein sollte!
4. fällt mir auch kein ergebnis zu ein! (aber identische geraden müssten doch das krasse gegnteile von windschiefen geraden sein. identische haben doch jeden punkt gemeinsam oder?!?!) kann mir jmd dazu auch nochmal ein Beispiel sagen?!

Mist, habe gedacht, ich habe es gecheckt!! Crying or Very sad
N43
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Anmeldungsdatum: 01.03.2006
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 00:11:15    Titel:

Hallo,

Zitat:

Lineare Abhängigkeit heißt also (nach euren Definitionen), dass der eine Richtungsvektor der einen Geraden nur ein vielfaches des Richtungsvektors der anderen Gerade ist. Ist dieses nicht erfüllt, ist es linear unabhängig.
Nicht ganz, man untersucht die Richtungsvektoren auf lineare ab- bzw. unabhänigkeit um Aussagen über das Lageverhalten von Geraden zu machen.

Vektoren sind nur linear unabhänig, wenn r * u + s * v + t * w + ... = 0 nur für r = s = t = 0 erfüllt ist. Sobald einer der Parameter r,s,t nicht 0 ist, sind die Vektoren linear abhänig.

Zitat:
bsp.: abhängig -> r = 2 +4s
eigentlich nicht, denn die Lösung 0 gibt es immer für r und s, wenn es aber noch andere Lösungen gibt, dann sind sie lin. abh.

Zitat:
bsp.: unabhän. -> r= 0
hier machst du keine Aussage über s

Beispiel:
(6/4/2) = 2*(3/2/1) => linear abhänig.
0*(6/5/4) + 0*(3/2/1) = 0 => linear unabhänig.

Zitat:
Also, wenn ich zwei Geraden vorgesetzt bekomme, wie gehe ich dann vor?
Ich weiß nicht, wie ich am besten anfange.
man muss auf soviel gleichzeitig achten.
Kannste mir nochmal helfen?!
Du prüfst als erstes die Richtungsvektoren auf lineare Abhänigkeit. Wenn sie linear abhängig sind, sind sie die Geraden entweder parallel oder soagr identisch.
Ist der Ortsvektor von h in g enhalten, sind die Geraden identisch, ansonsten parallel.
Wenn die Richtungsvektoren linear unabhänig sind, dann sind die Geraden entweder windschief, oder sie schneiden sich.

Zitat:
beispiele:
1. r = 1 und s= 5 (genau eine lösung für r und s, oder?!)
ja, wenn r und s die Parameter in der Geradengleichung sind
Zitat:
2. fällt mir leider kein ergebnis ein!!!!!! da brauche ich noch hilfe (eigentlich, dürften beide geraden keinen punkt gemeinsam haben, oder?!
Aber wie sehe dann ein Beispiel aus?! also wie könnte das ergebnis des LGS aussehen?!
richtig, die Richtungsvekotren sind lin. unabh. und die Geraden haben keine gem. Punkte. Das Ergebnis eines LGS wäre eine falsche Ausage, z.B. 4=5, etc.

3. Die Richtungsvektoren sind lin. abh., sie zeigen also in die gleiche Richtung. Außerdem dürfen die Geraden keinen gem. Punkt haben.

Zitat:
4. fällt mir auch kein ergebnis zu ein! (aber identische geraden müssten doch das krasse gegnteile von windschiefen geraden sein. identische haben doch jeden punkt gemeinsam oder?!?!) kann mir jmd dazu auch nochmal ein Beispiel sagen?!
richtig, du sparst dir aber das Gleichsetzen der Geraden, wenn du prüfst, ob sie linear abhängig sind und beispielsweise der Ortsvektor von h in g liegt.


N43
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
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BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 00:30:33    Titel:

2 vektoren sind linear abhängig voneinander
2 vektoren sind vielfache voneinander

bedeutet das zufällig das gleiche?

N43 hat folgendes geschrieben:
Beispiel:
(6/4/2) = 2*(3/2/1) => linear abhänig.


das ist doch nur eine überprüfung ob die vielfache voneinander sind. mehr nicht, oder?
wenn keine parameter vorkommen, dass ist es doch einfach nur ein "genaues hingucken", mehr nicht, oder? also man sieht ja das 2*3=6 und 2*2=4 und 2*1=2 , da braucht doch nichts mehr rechnen...
Wirdbald Ökonom
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
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BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 00:44:11    Titel:

Is scho recht,
aber bei mehr Vektoren geht das nicht mehr ganz so einfach, dann musst du den ersten Vektor ja aus den anderen zusammenbasteln. z.B.:
(6/4/2) = x*(3/15/1) + y*(5/8/3) ===> linear abhängig?
oder erst bei höheren Dimensionen, oh Gott oh Gott nein!!!

Sucht jemand Übungsaufgaben? Ich stell dann mal ein paar Vektoren rein und ihr könnt dann gucken, ob die paarweise, zu dritt usw. linear abhängig sind... Cool
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 00:46:17    Titel:

asoooo, oke.

jo stell mal was rein, würd ich mir gern mal antun *g*
Wirdbald Ökonom
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 133
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 01:20:10    Titel:

Ok, hier mit denen kannst Du mal anfangen. Meld' Dich wenn Du noch Fragen hast:
(77/49/44), (46/80/42), (7/27/80), (87/20/49), (80/24/73), (74/95/40), (46/15/11), (65/37/46), (69/91/46), (5/53/42)

Vielleicht genügt zunächst die paarweise Abhängigkeit Laughing
(Wie gut, das Excel Zufallszahlen kann, so kreativ bin ich doch gar nicht Very Happy )
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