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Komplexe Zahlen
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HilfeMathe
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Anmeldungsdatum: 02.03.2006
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 20:51:20    Titel: Komplexe Zahlen

Kann mir bitte jemand weiterhelfen ?!

1.) Beweisen Sie, dass für reelle Zahlen x, y und | x | = { x, falls x ≥ 0 und –x, falls x < 0} gilt, | x * y | = | x | * | y |.

2.) Beweisen Sie, dass für komplexe Zahlen z1, z2 gilt, | z1 * z2 | = | z1 | * | z2 |

3.) Berechnen Sie die Lösungen von z³ = 1.

Besten Dank im Voraus !!!
Hyperion
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 623

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 21:06:51    Titel:

1. ((x >-< y)<0) -> (x*y = -|x|*|y|)
((x >-< y)<0) -> (-x*y = |x*y| <=> x*y = -|x*y|)

=> -|x|*|y| = -|x*y|
<=> |x|*|y| = |x*y|


2. (a+bi)*(c+di) = (ac-bd+(ad+bc)i)

bei dem einen erst Betrag, dann multiplizieren, beim anderen umgekehrt.
|z| = \sqrt{z \cdot \bar z} = \sqrt{(a + \mathrm{i}\,b) \cdot (a - \mathrm{i}\,b)} = \sqrt{a^2 + b^2}.



3. (a+bi)³ = 1

a³+3a²bi-3ab²-b³i = 1

a³-3ab² = 1

b = w((a³-1)/3a)

3a²b-b³ = 0

3a²w((a³-1)/3a)-w((a³-1)/3a)³ = 0

(a^4-a)*(w((a³-1)/3a)) = 0

also:

a^4-a = 0

a1= 0

a³ = 1

a2 = 1

oder

w((a³-1)/3a) = 0

(a³-1)/3a = 0

a3 = 1

a1;2 bei Formel für b einsetzen

für a = 0

b = w((a³-1)/3a)

b = 1/0*i

für a = 1

b = 0

also, komplexe Lösungen:

z = (1|0)
HilfeMathe
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Anmeldungsdatum: 02.03.2006
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 22:22:57    Titel:

Besten Dank Hyperion!!! Wink Werd mich mit deinem Lösungsweg nochmal morgen auseinandersetzten... Bin nicht mehr so aufnahmefähig!!!
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