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Äquivalenzrelation
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cKy
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Anmeldungsdatum: 25.06.2005
Beiträge: 806

BeitragVerfasst am: 22 März 2006 - 22:18:41    Titel: Äquivalenzrelation

Ich hab mal wieder ein kleines Verstaendnisproblem

R teilmenge von A x A

A={a,b,c}
R={(a,a)}

reflexiv?
symmetrisch?
transitiv?

Es heisst sie ist nicht reflexiv weil (b,b) und (c,c) in R fehlen.
Aber sie sei symmetrisch und transitiv, aber warum?

In der Definition fuer symmetrie und transitiv heisst es immer "FUER ALLE x,y gilt..."
Bei reflexiv "FUER ALLE x,x"
Das muesste heissen, dass in R fuer symmetrisch (a,b), (b,a), (b,c), (c,b) z.b.: vorkommen muesste.

Weiter denke ich mir aber, dass das ja nur fuer die Variablen x,y gilt und daher das was ich obendrueber geschrieben habe voelliger schwachsinn ist.

Oder gilt das nur wenn "FUER ALLE (x,x), dass es eben ALLE Produkte geben muss...da x die selbe variable ist und somit der selbe wert FUER ALLE dann genommen werden muss und bei (x,y) kann man fuer x=a und y=a nehmen...anders kann ich mir die symmetrie und transivitaet nicht vorstellen.

Denn wenn ich mir a aus A raushole und nochmal a aus dem 2 A, dann habe ich ja symmetrie weil (a,a) bzw.: (a,a).

Transitiv ist sie auch wenn ich mir nur a rausnehme, da tranistiv (x,y) ^ (y,z). wenn fuer x,y,z = a.

Meine eigentliche Frage ist: Wenn ich das Beweisen muss, dann reicht es wenn ich ein Beispiel dafuer bringe oder muss dies fuer alle Elemente in den Mengen gelten?

Ich bin ein wenig durcheinander...mal wieder.


Ich habe noch eine Aufgabe geloest..vielleicht kann mir jemand sagen ob diese richtig ist:

Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:

R:={(x,y) E R² | x+y=x*y} ist symmetrisch

ich hab mir beliebe elemente rausgenommen...

x=3: y=-4

3+(-4)=3*(-4) -> -1=-12
(-4)+3=(-4)*3 -> -1=-12

also ist symmetrisch...alternativ haette ich ja auch sagen koennen, dass es symmetrisch ist, wegen dem kommutativgestz.

Danke fuers lesen und eventuell antworten!
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 13:51:43    Titel:

Symmetrisch heißt:
Für alle x,y aus M gilt: Aus xRy folgt yRx
Gilt das immer? (x muss nicht ungleich y sein. Steht nicht da.)

Transitiv:
Denk mal an die Relation die durch die leere Menge gegeben ist.
R={}
Ist die auch transitiv? Ja.

Zitat:
ich hab mir beliebe elemente rausgenommen...
x=3: y=-4

3 und -4 stehen nicht in Relation zueinander!


Zitat:
also ist symmetrisch...alternativ haette ich ja auch sagen koennen, dass es symmetrisch ist, wegen dem kommutativgestz.

Das sollte aufgeschrieben werden. Man soll es ja für alle Paare zeigen.
Sei x,y aus R^2 und xRy
=> x+y=x*y
=> ....
=> yRx

Das ist gar nicht so schwierig.... Wink[/quote]
cKy
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Anmeldungsdatum: 25.06.2005
Beiträge: 806

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 19:56:46    Titel:

vielen dank erstmal fuer deine antwort...bei dem thema schein ich aber wirklich begriffsstutzig zu sein.

ich versteh nur nicht, wovon ich ausgehen soll. normal von der relation R in meinem beispiel.

wie wuerdest du in meinem beispiel vorgehen, um das zu beweisen bzw widerlegen? (reflexiv, symmetrisch, transitiv)

generell gesagt: wenn ich etwas beweisen soll, dann muss dies allgemeingueltig sein und fuer alle element gelten.wenn ich etwas widerlegen soll, dann kann ich dies einfach mit einem konkreten beispiel (zahlen) widerlegen?

danke fuer die geduld Smile
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 22:37:00    Titel:

Zitat:
wie wuerdest du in meinem beispiel vorgehen, um das zu beweisen bzw widerlegen? (reflexiv, symmetrisch, transitiv)

Symmetrisch: Ja
Für alle x,y aus M für die xRy gilt, gilt auch yRx, weil es nur ein mögliches x,y Paar gibt, das die Relation erfüllt, nämlich x=a,y=a.

Transitiv: Ja
Wenn x,y,z nicht alle dasgleiche Element sind, gilt xRy oder yRz nicht, dann sagt die Transitivitäts-Eigenschaft nicht über diese Elemente aus.
Wenn x,y,z dasselbe Element sind, dann gilt xRy und yRz und xRz.

Reflexiv hast du schon beanwortet.

Am besten du liest dir die Definition nocheinmal durch und hälst dich ganz streng an sie. Auch wenn das Resultat nicht so fassbar ist.



Zitat:
generell gesagt: wenn ich etwas beweisen soll, dann muss dies allgemeingueltig sein und fuer alle element gelten.wenn ich etwas widerlegen soll, dann kann ich dies einfach mit einem konkreten beispiel (zahlen) widerlegen?

Genau.
cKy
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Anmeldungsdatum: 25.06.2005
Beiträge: 806

BeitragVerfasst am: 24 März 2006 - 16:21:20    Titel:

Vielen Dank...Ich denke ich habs nun verstanden Smile
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