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Wsk: Bei M würfen - N mal hintereinander die selbe Zahl
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Wsk: Bei M würfen - N mal hintereinander die selbe Zahl
 
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c°h°
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Anmeldungsdatum: 21.03.2006
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 15:45:54    Titel: Wsk: Bei M würfen - N mal hintereinander die selbe Zahl

Hi,

in einem anderen Forum wurde folgende Frage gestellt ich habe dazu denke ich eine Lösung gefunden allerdings bin ich mir nicht sicher. Was haltet ihr davon?

Frage:
Zitat:

weiß jemand wie hier mathematisch die warscheinlichkeit zu berechnen ist?

"Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich N-mal hintereinander dieselbe Zahl erhalte, wenn ich M-mal würfele?"



Mein Lösungsvorschlag:
Zitat:

Also ich würde so an das Problem rangehen:

Summe(i=n, ..., i=m; P( genau i erfolgen in m versuchen ) * P(mind n der i Erfolge liegen nebeneinander )

Erfolgswsk (p)= 1/6 dh obiges ist dann die Wsk n mal nacheinander eine bestimmte Zahl zu Würfeln, da diese frei ist müsste man das Ergebnis noch mit 6 multiplizieren.


Wsk von Genau N Erfolgen bei M Versuchen:

(M über N) * p^N *(1-p)^(M-N)

Wsk das N Erfolge nebeneinander liegen :

N/M * (N-1)/(M-1) * ... * 1/(M-N+1)

Damit müssten wir insgesamt zu folgender Wsk kommen:

P(würfle N-mal hintereinander dieselbe Zahl in M Würfelvorgängen) =
6 * SUMME[i=N, ..., i=M; (M über i) * p^i *(1-p)^(M-i) * SUMME[j=0, ..., j=N-1; (i-j)/(M-j)] ]

bin mir nicht 100%ig sicher glaube aber das es im Ansatz zumindest stimmt.


Ist meine Lösung überhaupt richtig? Ist die Aufgabe mittels anderer Methoden leichter oder intuitiver lösbar ?

MFG c°h°
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 16:10:18    Titel:

Ich würde es mit der Kombinatorik versuchen:

P=(5^(m-n)*binomial(m,n))/6^m

Das ist meiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeit, dass eine gewisse Zahl (z.B. die drei) n mal nacheinander gewürfelt wird, wenn man insgesamt m mal würfelt.

binomial(m,n)=(m tief n).

Ohne Garantie... Gruss

EDIT: Die angegebene Wahrscheinlichkeit ist nicht für n mal hintereinander dieselbe Zahl, sondern genau n mal, egal ob nacheinander oder nicht...
c°h°
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Anmeldungsdatum: 21.03.2006
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 16:20:18    Titel:

Also ich verstehe deine Lösung leider garnicht wieso 5^(m-n) woher kommt die 5 ( fällt für mich vom Himmel )

(m tief n ) == ( m über n ) ?

müsste bei binomial nicht noch eine Summe davor und innen * p^(n) * (1-p)^(m-n)

Könntest du mir sagen was dich zu dieser Lösung motiviert hat evtl. stehe ich grade einfach nur auf dem Schlauch Wink


mfg
c°h°
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Anmeldungsdatum: 21.03.2006
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 16:22:24    Titel:

die Wsk für genau N mal die selbe Zahl wäre aber doch folgende oder ?

6* (M über N) * p^N *(1-p)^(M-N)

mit p = 1/6
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 17:42:46    Titel:

Die Wahrscheinlichkeit für genau n mal eine gewisse Zahl (z.B. die zwei) von m mal würfeln ist, wenn ich mich nicht irre:

P=(5^(m-n)*binomial(m,n))/6^m

Die n mal, bei denen die zwei gewürfelt wurde, nehme ich vorerst aus der Rechnung raus. Die Anzahl möglichkeiten aus den restlichen m-n mal würfeln beträgt 5^(m-n). 5, weil die eine Zahl, zwei, nicht mitgerechnet wird.

Jetzt kann man aber noch diese n zweien nicht nur am Anfang oder am Ende würfeln, sondern auch z.B. 2x2xx2x (bei n=3 und m=7). Deshalb noch *binomial(m,n).

Wenn die n nacheinander sein müssen wird es so etwas wie mapl*binomial(m-n+1,1) sein, da bin ich mir aber nicht so sicher.

Gruss
c°h°
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Anmeldungsdatum: 21.03.2006
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 21:31:42    Titel:

Ahja jetzt hab ich dich verstanden bei genauerem hinsehen sind unsere beiden Wsk auch gleich jedenfalls bis auf einen Faktor 6

6* (M über N) * (1/6)^N *(5/6)^(M-N)

=

6* (M über N) * 1/(6^N) * 5^(M-N)/6^(M-N)

=

6 * (M über N) * 5^(M-N)/6^N

jetzt Frage ich mich ist meine 6 * zuviel oder ist sie bei dir zu wenig?


//edit: meine Motivation den Faktor 6 mit einzurechnen ist das ich einen Erfolg ja nur mit einer bestimmten Zahl assoziiere. Die erste Zahl die gewürfelt wird ist aber eigentlich egal, denn erst danach ist bestimmt was man zu würfeln hat.

//edit2 und was ist eigentlich mapl ?

mfg
wirrkopf
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Anmeldungsdatum: 30.11.2005
Beiträge: 73
Wohnort: Altötting

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 22:39:03    Titel:

fas hat folgendes geschrieben:
Die Wahrscheinlichkeit für genau n mal eine gewisse Zahl (z.B. die zwei) von m mal würfeln ist, wenn ich mich nicht irre:

P=(5^(m-n)*binomial(m,n))/6^m
(...)
Die Anzahl möglichkeiten aus den restlichen m-n mal würfeln beträgt 5^(m-n). 5, weil die eine Zahl, zwei, nicht mitgerechnet wird.


Ja also der Faktor 6 gehört noch dazu.

Aber die Aufgabenstellung war doch:

Zitat:
"Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich N-mal hintereinander dieselbe Zahl erhalte, wenn ich M-mal würfele?"


Ich versteh das so, dass es einen "Block" von gleichen Zahlen geben muss und dass über die anderen m-n nichts ausgesagt ist. Da steht ja nicht "genau n-mal ..." . (...566666..) wär also meines Erachtens auch ein Ergebnis für n=2 oder n=3 oder n=4 ...
Wie seht ihr das?
Wirdbald Ökonom
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Anmeldungsdatum: 09.02.2006
Beiträge: 133
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 24 März 2006 - 09:48:37    Titel:

Ich nehme mal an, dass die Wahrscheinlichkeit gesucht ist, dass mindestens N mal hintereinander die gleiche Zahl auftritt (also z.B. auch N+1 mal).

Das Problem bei euren Lösungen ist, dass Ihr die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte gegebene Zahl ausrechnen wollt und das dann einfach mit 6 multipliziert. Dann habe ich aber die Fälle doppelt gezählt, in denen sowohl M-mal die eine als auch M-mal eine andere Zahl auftritt.

Klar ist:
Es gibt insgesamt 6^M Fälle, es können bei M Würfen je 6 Möglichkeiten auftreten.

Wieviele günstige Fälle gibt es?

z.B. für M=6 und N=3 sind folgende Fälle günstig:
666143, 166625, ...
aber auch: 234555 und auch: 333555
Es ist nicht gesagt, welche Zahl auftreten soll, es können aber auch mehrere gleichzeitig N mal auftreten.

Sei Ai das Ereignis, dass mindestens N mal die Zahl i auftritt. Dann haben wir:
|Ai|=(M-N+1)*6^(M-N) günstige Fälle. Denn es gibt (M-N+1) Positionen, an denen der Zahlenblock stehen kann und für die restlichen (M-N) Fälle gibt es noch je 6 Möglichkeiten.
Wir brauchen aber die Zahl der günstigen Fälle für alle i=1,2,...,6 (u heißt vereinigt):
|A1 u A2 u ... u A6|= |A1|+...+|A6| - (|A1 ∩ A2|+...+|A5 ∩ A6|) + (|A1 ∩ A2 ∩ A3|+...) usw.
Das entspricht der Formel von Sylvester. Das heißt, wenn man nur die Häufigkeiten zusammenzählt, erhält man zu viele Möglichkeiten, weil die Fälle doppelt gezählt werden, wo zwei Zahlen N mal auftreten. usw.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wäre:
|A1 u A2 u ... u A6| / 6^M

Mir fällt allerdings keine Lösung ein für M und N unbekannt, oder jedenfalls wäre es mir zu kompliziert. Denn die Reihe oben ist für (M-> unendlich) auch unendlich lang und man müsste herausbekommen, ob sie sich in Abhängigkeit der Variablen kürzer darstellen lässt.
c°h°
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Anmeldungsdatum: 21.03.2006
Beiträge: 102

BeitragVerfasst am: 24 März 2006 - 11:00:03    Titel:

Für M gegen unendlich und N endlich sollte die Wsk sowieso 1 sein deshalb ist der Fall uninteressant. Für N und M gegen unendlich geht die Wsk gegen Null.
Also geht es eigentlich nur um die Fälle M,N endlich und N<M


Deine Lösung hört sich sehr gut an nur lassen sich wie du schon sagst für beliebige N,M die Durchschnitte recht schwer Kombinatorisch ausrechnen.

Wenn wir das Problem etwas eingrenzen durch die Bedingung M < 2*N dann wäre der Durchschnitt leer. Und deine Formel wäre recht einfach zu berechnen.

Allerdings glaube ich immernoch das meine Summe von oen die richtige Wsk angeben sollte. Oder zähle ich da auch Fälle doppelt ?

@Wirrkopf: Ja klar das war die Aufgabe wir sind ein wenig abgeschweift Wink

mfg
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