Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Ableitung, Help!
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ableitung, Help!
 
Autor Nachricht
Denker
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.03.2006
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 16:59:51    Titel: Ableitung, Help!

Ich schreibe morgen eine Klausur über das Thema Ableitung (Differentialrechnung), habe wegen längerem Fehlen allerdings einige Lücken. Nun habe ich einiges nachgearbeitet, allerdings herrscht an manchen Stellen Verwirrung:

1. Im Unterricht haben wir dem Differenzialquotienten f(x+h) - f(x) Bruchstrich h gelernt.
Wenn ich es richtig verstanden habe muss man nun für jedes x die [x+h] Funktion einsetzten und danach das gegebene f(x) angeben.
Nun steht im Mathematik Duden zu meiner Verwirrung allerdings folgender Differenzialquotient: f(x0+h) - f(x0) Bruchstrich h. Heißt das jetzt, dass ich für jedes x den in der Aufgabe angegeben x0-Wert angeben muss? Oder ist das die falsche Formel?
Es geht also um das x0, was muss man jetzt damit anstellen, was ist richtig?

Jedenfalls habe ich für die Aufgaben nach der ersten Methode folgende Ergebnisse erhalten:
a) f(x) = x²; x0 = -1
b) f(x) = x² - 2x; x0 = 3
c) f(x) = x² + 3x -1; x0 = -2
Bei allen lim h -> 0

a) f ' (x) = 2x
b) f ' (x) = 2x
c) f ' (x) = 2x + 3

2. Wann darf man bei der Ableitung h kürzen?

3. Worum handelt es sich bei der Tangentengleichung?

Vielen Dank.
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 17:33:16    Titel: Re: Ableitung, Help!

Denker hat folgendes geschrieben:

1. Im Unterricht haben wir dem Differenzialquotienten f(x+h) - f(x) Bruchstrich h gelernt.

GENAU... Damit bestimmt man sozusagen die allgemeinen Ableitung...

Wenn ich es richtig verstanden habe muss man nun für jedes x die [x+h] Funktion einsetzten und danach das gegebene f(x) angeben.

Man nimmt einmal die Funktion f(x) und ersetzt alle x mit (x+h),
dann noch einmal die Funktion f(x) und setzt alles wieder in den Differenzenquotienten ein und macht den Granzübergang der Limesbetrachtung..
.


Nun steht im Mathematik Duden zu meiner Verwirrung allerdings folgender Differenzialquotient: f(x0+h) - f(x0) Bruchstrich h.

GENAU... Das ist eben nicht die "allgemeine Ableitung" , sondern die Ableitung an einer bestimmten Stele x0

Heißt das jetzt, dass ich für jedes x den in der Aufgabe angegeben x0-Wert angeben muss ?

Berechne den Differenzienquotient wie Du es gewohnt bist,
indem Du x0 als x betrachtest, mit dem kleinen Unterschied dass Du ganz am Schluss den gegebenen Wert für x0 einsetzt...


a) f(x) = x²; x0 = -1
b) f(x) = x² - 2x; x0 = 3
c) f(x) = x² + 3x -1; x0 = -2
Bei allen lim h -> 0

a) f ' (x) = 2x <-- Richtig !!!

b) f ' (x) = 2x <-- Falsch !!!
c) f ' (x) = 2x + 3 <-- Richtig !!!

Jetzt fehlt noch der eingesetzte x0 Wert für a),b),c)

2. Wann darf man bei der Ableitung h kürzen?

Das versteh ich jetzt nicht, wieso willst Du h und vorallem wo kürzen ???
Kann es sein, dass Du Ableitung und Differenzenquotient etwas durcheinander bringst ???


3. Worum handelt es sich bei der Tangentengleichung ?

Schau mal da rein: Tangente
Denker
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.03.2006
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 17:50:21    Titel:

Danke!

1. Ich muss also so weit wie möglich kürzen und am Schluss dann den x0-Wert für x einsetzten. Aber wie schreibe ich dann das Ergebnis hin (in welcher Form) bzw. was ist dann das Ergebnis?

2. Damit ich's endgültig verstehe: Kann mir jemand folgende Aufgabe lösen (Also mit Rechenschritten):
f(x) = -3x² + 2x; x0 = -2

Zitat:
Das versteh ich jetzt nicht, wieso willst Du h und vorallem wo kürzen ???
Kann es sein, dass Du Ableitung und Differenzenquotient etwas durcheinander bringst ???

Unsere Lehrerin hat gesagt, dass das Ziel der ganzen Umformung sei den Zähler so umzuformen, dass h sich kürzen lässt. Zum Beispiel darf man laut ihr bei x² + h + 5 Bruchstrich h das h NICHT kürzen. Daher meine Frage wann man es denn nun darf.

Achja um Missverständnisse zu vermeiden: Das exakte Thema lautet "Bestimmung der Ableitungsfunktion mittels der Betrachtung des Differenzialquotienten der Funktion".
Leroy42a
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 20.02.2006
Beiträge: 642
Wohnort: Duisburg

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 18:03:24    Titel:

Code:
f(x) = -3x² + 2x; x0 = -2
 
f'(x) = lim{h->0) [f(x+h)-f(x)] / [(x+h)-x]
f'(x) = lim{h->0) [-3(x+h)²+2(x+h) - {-3x²+2x}] / h
f'(x) = lim{h->0) [-3(x²+2hx+h²)²+2(x+h) + 3x²-2x] / h
f'(x) = lim{h->0) [-3x²-6hx-3h²+2x+2h + 3x²-2x] / h
f'(x) = lim{h->0) [-6hx-3h²+2h ] / h

Jetzt kannst du argumentieren: Je kleine h wird, desto kleine wird h² gegenüber
dem festen x und gegenüber h ==> du kannst h² vernachläßigen aber NICHT 2h

Code:
f'(x) = lim{h->0) [-6hx+2h ] / h
f'(x) = lim{h->0) [-6x+2 ] * (h/h)

Jetzt darfst du kürzen!

f'(x) = lim{h->0) [-6x+2 ]

Und da es jetzt gar kein h mehr gibt, hast du die allgemeine Ableitung

f'(x) = -6x+2

Dein x0 = -2 einsetzen

f'(0) = (-6)*(-2) + 2 = 14

Noch 'ne Frage: Wie kannst du x0 mit tiefergestellter 0 eingeben? Shocked
Denker
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.03.2006
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 18:21:02    Titel:

Danke!
aber...

Leroy42a hat folgendes geschrieben:
Code:
f'(x) = lim{h->0) [-3(x²+2hx+h²)²+2(x+h) + 3x²-2x] / h

Den Schritt verstehe ich nicht. Wir multiplizieren doch das (x+h)² aus. Wie kommt dann das Quadrat dahinter zu stande: (x²+2hx+h²)²


Leroy42a hat folgendes geschrieben:
Noch 'ne Frage: Wie kannst du x0 mit tiefergestellter 0 eingeben? Shocked

Ich mach einfach die Schrift für das x kleiner. Wink
Leroy42a
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 20.02.2006
Beiträge: 642
Wohnort: Duisburg

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 18:33:46    Titel:

Hast Recht!
Das Quadrat um die Klammer hab' ich nach dem Kopieren der
vorhergehenden Zeile einfacht vergessen zu löschen.

Denker hat folgendes geschrieben:

Ich mach einfach die Schrift für das x kleiner.


Cool
Denker
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.03.2006
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 19:13:08    Titel:

Also für die Tangentengleichung gilt ja:

tx0 = m * x + b

m ist die Steigung, haben wir ja bei der Ableitung erhalten!
Aber was sind die anderen Werte, wie rechne ich das jetzt aus?
Denker
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.03.2006
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 20:01:20    Titel:

Neutral
ingu
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 20:50:07    Titel:

du hast ja noch einen bekannten Punkt, nämlich den, wo die Tangente die Funktion berührt; den setzt du ein (für x die x-Koordinate, für t(x) die y-Koordinate, also f(x)); und das dann nach b auflösen.
Denker
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 16.03.2006
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 23 März 2006 - 21:12:18    Titel:

Könnt ihr mir vielleicht eine Beispielaufgabe dazu geben?
Prinzipiell habe ich es verstanden, aber ich muss es sehen!
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ableitung, Help!
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum