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Differentialgleichung
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Maggus
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Anmeldungsdatum: 02.04.2006
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2006 - 20:08:18    Titel: Differentialgleichung

Hallo Leute!

Habe die Gleichung y' = y * ln(x)

bin wie folgt vorgegangen, wäre cool, wenn mir jemand sagen könnte obs richtig ist!


dy/dx = y * lnx

Integral(1/y)dy = Integral(lnx)dx

ln|y| = x*lnx - x + c

y = e^x(lnx-1) <-- Endergebnis

----------
Ist das Ergebnis richtig?

danke im Voraus
Markus
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2006 - 20:18:01    Titel:

Überprüfe es einfach:
y = e^x(lnx-1)
=> y' = y = e^x(lnx-1) * ((lnx-1)+x*(1/x)) = e^x(lnx-1) * (lnx-1+1) = e^x(lnx-1) * lnx = y * lnx

Daher sieht es für Dein Ergebnis gut aus!
ad_
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2006 - 20:27:13    Titel:

Die Konstante c wurde vergessen.

ln|y| = x*lnx - x + c | e^(...)
|y| = e^(x*lnx - x + c)
|y| = e^c * e^(x*lnx - x)

Betrag auflösen:
y = +- e^c * e^(x*lnx - x)
Umbenennen k= +- e^c und k ist aus R
y = k * e^(x*lnx - x)


...
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 04 Apr 2006 - 20:38:18    Titel:

take hat folgendes geschrieben:
Überprüfe es einfach:
y = e^x(lnx-1)
=> y' = y = e^x(lnx-1) * ((lnx-1)+x*(1/x)) = e^x(lnx-1) * (lnx-1+1) = e^x(lnx-1) * lnx = y * lnx

Daher sieht es für Dein Ergebnis gut aus!



Ich will noch bemerken, dass man dann nur weiss, dass dies eine Lösung ist. Um zu beweisen, dass das alle Lösungen sind muss man noch die Eindeutigkeit zeigen. Also das die Funktion y*ln(x) lokal einer Lipschitzbedingung genügt.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 12:29:45    Titel:

Da in der Aufgabe nicht steht "finde alle Lösungen" (und der Lösungsansatz von Maggus auch nicht so aussah), bin ich davon ausgegangen, das eine Lösung ausreicht. Des Weiteren wollte Maggus nur eine Überprüfung des Ergebnisses.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 13:50:15    Titel:

Es war doch auch nur als Bemerkung gedacht. Wink
Maggus
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Anmeldungsdatum: 02.04.2006
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 19:24:59    Titel:

Hey!

vielen Dank für die schnelle Hilfe!


Markus
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