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Trigonometrie
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super mario
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Anmeldungsdatum: 05.04.2006
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 14:04:14    Titel: Trigonometrie

hey bin neu hier, und habe ein paar Fragen zur Trigonometrie:

Und zwar zu den Reduktionsformeln:

für 0 =< alpha =< 180° || sin(alpha) = sin(180° - alpha)
für 0 =< alpha =< 360° || sin(alpha) = -sin(360° - alpha)
für 0 =< alpha =< 180° || sin(alpha) = -sin(180° + alpha)


Es gibt ja immer nur einen Wert, den der Taschenrechner ausspuckt:

Dazu ein Beispiel:

sin(0,7) ~ 44,4°

Um den 2. Wert herauszufinden rechnet man also

180° - 44,4° ~ 135,6°

Soweit so gut:

Nur wofür gibt es die oben genannten Reduktionsformeln?
Die 1. und 3 Formeln sind doch exakt dieselben, nur halt umgeschrieben! Was bringt mir das?

Und wenn alpha größer als 180° ist, muss ich, um den 2. Wert herauszufinden, ja wie beim cosinus 360° - alpha rechnen!
Beim cosinus gibt es auch 3 solche Formeln, wobei die 1. und 3. sich aber nicht ähneln, sondern da -cos(180° - alpha) und -cos(180° + alpha) gilt

Daraus kommen dann doch zwei ganz unterschiedliche Ergebnisse?

D.h. einmal (bei -cos(180° - alpha))

180 + alpha

und bei

-cos(180° + alpha)

180 - alpha

Oder hab ich da was falsches verstanden?

Wäre erstmal ganz hilfreich, wenn ihr mir das beantworten könntet
Chuck Norris
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Anmeldungsdatum: 02.03.2006
Beiträge: 156

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 15:33:05    Titel:

zu deiner behauptung. es ist ganz und gar nicht selbstverständlich, dass gilt
sin(180-a)=-sin(180+a)

das liegt daran, dass die sinuskurve in zu jeder Nullstelle Punktsymmetrisch ist. Für das rechnen an und für sich mag das nicht so wichtig sein, zeigt aber die vielen Eigenschaften der Sinus/Cosinus kurve.
super mario
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Anmeldungsdatum: 05.04.2006
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 16:45:42    Titel: Re: Trigonometrie

super mario hat folgendes geschrieben:


Und wenn alpha größer als 180° ist, muss ich, um den 2. Wert herauszufinden, ja wie beim cosinus 360° - alpha rechnen!
Beim cosinus gibt es auch 3 solche Formeln, wobei die 1. und 3. sich aber nicht ähneln, sondern da -cos(180° - alpha) und -cos(180° + alpha) gilt

Daraus kommen dann doch zwei ganz unterschiedliche Ergebnisse?

D.h. einmal (bei -cos(180° - alpha))

180 + alpha

und bei

-cos(180° + alpha)

180 - alpha

Oder hab ich da was falsches verstanden?

Wäre erstmal ganz hilfreich, wenn ihr mir das beantworten könntet


danke , wie sieht es hiermit aus?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 17:23:39    Titel:

Vielleicht hilft es dir, die Zusammenhänge besser zu durchschauen, wenn du dir mal eine Zeichnung anfertigst:
Bekanntlich sind die Winkelfunktionen im Einheitskreis definiert.

Zeichne also einen Einheitskreis (genügend grosse Einheit wählen!) mit dem Mittelpunkt in O(0/0)
Wähle nun irgend einen beliebigen Punkt P auf dem Rand des Kreises und zeichne dessen Koordinaten ein und den Winkel w zwischen der positiven x-Achse und dem Radius OP

Die Ordinate (y-Wert) von P ist der sin von w. OK?

Nun kannst du drei weitere Punkte eintragen, deren Ordinaten gleich lang sind wie die von P. (eine hat gleiches Vorzeichen, die beiden anderen *(-1)...)

Die drei zugehörenden Winkel kannst du leicht in Beziehung zum Winkel w bringen?
Kannst du jetzt deine Formeln "sehen"?
Und auf diesem Weg auch mit Sicherheit den jeweils zweiten Wert, den dein Rechner nicht "ausspuckt", herausfinden?
super mario
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Anmeldungsdatum: 05.04.2006
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 18:43:53    Titel:

danke schonmal

jetzt hab ich eins aber nicht verstanden:

was versteht man unter -cos

was wird da ausgerechnet?

heißt es das -cos(180+20) = cos(180-20) ist?

Oder wird einfach nur der cos(180+20) ins negative umgewandelt?
wie kann man das verstehen!

eigentlich dürfte -cos(180+20) = cos(180-20) nicht stimmen, da eine achsensymmetrie vorliegt, und deshalb gilt: cos(-alpha) = cos(alpha)

und bei der punktsymmentrie sin(-alpha) = -sin(alpha)

Das wäre dann so zu verstehen, dass sin(180-20) = -sin(180+20) wäre oder?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 19:51:41    Titel:

heißt es dass -cos(180+20) = cos(180-20) ist? Arrow NEIN

Nimm doch die Zeichnung mit dem Einheitskreis:
Die Abszisse (x-Wert) eines Punktes ist der cos des zugehörigen Winkels.
Trage die beiden Punkte zu den Winkeln (180+20) und (180-20) auf dem Kreis ein und schau dir den x-Wert dieser beiden Punkte an!
Also: wie heisst die obige Gleichung denn nun richtig?
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