Erzeugnisse im Vektorraum

habeinefrage · Full Member Anmeldungsdatum: 04.06.2005 Beiträge: 197

Hi,
ich bin mir bei folgender Aufgabe unsicher.Stimmen meine Ergebnisse.Ich hab versucht die Aufgabe grafisch zu lösen,kann ich sie auch anders lösen?
Im Folgenden werden jeweils einige Vektoren des Vektorraums R3 angegeben. Entscheiden Sie, ob
es Vektoren von R3 gibt, die nicht im Erzeugnis der angegebenen Vektoren liegen, und geben Sie
gegebenenfalls einen solchen Vektor an.

a)v1=(1,0,0) v2=(1,1,1)
ist Ebene,(0,1,0)liegt nicht im Erzeugnis

b)v1=(1,0,0) v2=(0,1,0) v3=(1,1,1)
<v1,v2,v3>=R3

c)v1=(1,0,0) v2=(0,-1,0) v3=(1,1,-1)
<v1,v2,v3>=R3

d)v1=(3,4,7) v2=(1,0,3) v3=(0,4,-2) v4=(3,8,5)
<v1,v2,v3,v4>=R3

stimmt das?

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Wenn ich mich recht entsinne musst Du nur zeigen,
dass keiner der Vektoren Linearkombination der anderen ist...
Das bedeutet, dass ausser der trivialen Lösung µk = 0 mit k ∈ IN
kein µ existiert, sodass µ1 * v1 + µ2 * v2 + µ3 * v3= 0 mit µ ∈ IR und k ∈ IN

Rechnerisch zeigen kann man das bei drei Vektoren im IR³ schön mit der Determinante,
denn diese ist genau dann gleich Null wenn ihre Spalten- oder Zeilenvektoren linear abhängig sind...
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Nur wer fragt dem wird geholfen
α β γ δ λ π σ φ √ ∫ Σ ∏ ∂ ∈ ∉ ≈ ≠ ∞ ± ≤ ≥ ⇐ ⇒ ⇔

BBFan18 · Verfasst am: 08 Apr 2006 - 19:22:55 Titel:

bei der d) musst du zeigen, dass mind. 3 lin. unabh. sind. der 4te ist es sowieso!

xaggi · Senior Member Anmeldungsdatum: 15.03.2004 Beiträge: 1190

BBFan18 · Verfasst am: 09 Apr 2006 - 14:39:22 Titel:

der vierte ist linear abhängig von 3 anderen. im R^n sind n+1 Vektoren lin. abhängig.