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Abstand Punkt-Gerade
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Chris123
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Anmeldungsdatum: 15.02.2006
Beiträge: 43

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 16:14:06    Titel: Abstand Punkt-Gerade

1.) Gerade durch A(2;1;-2) und B (1;0;2).
Welchen Abstand hat C(6;5;0) von der Geraden ?
Man soll eine Hilfsebene H konstruieren durch C, sodass man am Ende von punkt c zur gerade ab den abstand 6LE erhält.
Ich erhalte irgendwie nie das richtige Ergebnis... Sad

H: n(x-a)=0

2.) Kann das daran liegen, dass ich z.B. A von B statt B von A abziehe?


Zuletzt bearbeitet von Chris123 am 05 Apr 2006 - 19:49:56, insgesamt einmal bearbeitet
Chris123
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Anmeldungsdatum: 15.02.2006
Beiträge: 43

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 19:23:09    Titel:

weiss niemand eine lösung? ich habe zuletzt 6,44 rausgebracht...
gregstar
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 446
Wohnort: Ludwigshafen

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 19:31:53    Titel:

ohhha da versuch ich doch direkt mal mein Glück (stelle aber keine Hilfsebene auf!?!)

Und der Abstand 6LE ist so oder so gegeben, da du ja nirgendswo ne Variable versteckt hast... also los gehts:

Erstmal parametergleichung für die Gerade:

x : (-2,-1,-2) + r(3,1,4)

sooo entscheidend ist eigentlich nur der Richtungsvektor. Der Kürzeste Abstand Punkt - Gerade ist wenn die Strecke Senkrecht zur gerade steht, sprich
S (so nenn ich den vektor Punkt - Gerade)
U (richtungsvektor von Gerade)
S * U = 0 (Skalarprodukt)

... jetzt was ist eigentlich vektor S ?;
S = C (dein Punkt) - P1 (punkt auf Geraden) :

(C1 - 6,C2 - 5,C3)... den Vektor in S * U einsetzen und Gleichungen lösen.
Dann hast du einen Vektor C1,C2,C3 .

Dann noch die Länge: Wurzel(C1² + C2² + C3²) und es müsste 6 Rauskommen.

gruß
Chris123
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Anmeldungsdatum: 15.02.2006
Beiträge: 43

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 20:02:17    Titel:

hm. versteh ich nicht.

also ich habs so gemacht:
B-A= (-1,-1,4)
g: x= (1,0,2) + r(-1,-1,4)
H: (-1,-1,4)(x-(6,5,0))=0

H: -x1+6-x2+5+4x3=0 --> g einsetzen in H

-(1-r)+11+r+4(2+4r)=0
r= - 4/9

S(13/9,4/9,2/9)
C-S= (41/9,41/9,-2/9)
[SC]= 6,44...

kann jemand von den einsteins hier mir bitte sagen wo der fehler liegt? Surprised


Zuletzt bearbeitet von Chris123 am 05 Apr 2006 - 20:49:02, insgesamt einmal bearbeitet
Chris123
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Anmeldungsdatum: 15.02.2006
Beiträge: 43

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 20:47:55    Titel:

bin am verzweifeln, wenn mir das hier keiner sagt Sad Sad Sad Sad Sad Sad Sad Sad Sad
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 22:08:21    Titel:

ich erklärs dir, habs eh gerade fürs abi gelernt Very Happy

Das Vorgehen ist richtig.
Du erstellst eine Ebene die orthogonal zu der Geraen ist. Genauer gesagt, die Ebene muss orthogonal zum Richtungsvektor sein.


1. Gerade erstellen:

Geradengleichung: g: x = p + t*u

deine gerade: g: x = (2/1/-2)+ r*(-1/-1/0)

2. Ebene erstellen:

Ebenengleichung(in Koordinatenform): ax+by+cz-r=0

deine orthogonale ebene:
-x-y=0

3. Nun muss der Punkt ja noch in der Ebene liegen, also setzt du den Punkt in die Ebene ein:

-6-5 - r = 0
r= -11

Nun heißt deine Ebene:

-x-y= -11

4. Durchstoßpunkt (D) berechnen:
Du brauchst ja einen zweiten Punkt auf der Geraden, um den Absatnd zum Punkt C zu berechnen. Und der einzige Punkt den deine Gerade und unsere Ebene gemeinsam haben, ist der Durchstoßpunkt.
Dazu setzt die Geradengleichung in die Ebene ein.

x = 2-r
y = 1-r
z = -2

-2-r-1-r = -11
r = 4

Nun haben wir den Parameter r berechnet und müssen den in die Geradengleichung einsetzen, um den Durchstoßpunkt zu berechnen.

(2/1/-2)+ 4*(-1/-1/0) = (-2/-3/-2)
Dein D ist (-2/-3/-2)!

5. Länge des Vektors DC berechnen:

DC = (c-d) = (8/8/-2)

|dc| = wurzel von x^2+y^2+z^2 = wurzel von 8^2+8^2+(-2)^2 = 11,489

Der Abstand zwischen dem Punkt C und der Geraden, die durch die Punkte A(2;1;-2) und B (1;0;2) gehen, beträgt 11,489.

Fertig
Gruß Sheddy
sheddy
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Anmeldungsdatum: 09.09.2004
Beiträge: 199

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 22:28:21    Titel:

scheisse, ich habe mich bei der geraden verrechnet Embarassed :

A(2;1;-2) und B (1;0;2).

richtungsvektor: B-A =
1-2 = -1
0-1 = -1
2-(-2) = 4

der richtungsvektor der geraden ist (-1/-1/4)

ansonsten ist die vorgehensweise so richtig,wie ichdie gemacht habe. Musst halt immer den verbesserten Wert einsetzen!!
Sorry! Embarassed
halg
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Anmeldungsdatum: 07.06.2005
Beiträge: 1007

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 22:42:07    Titel:

H: -x - y + 4z = -11

r = -1

S(2|1|-2)

C-S = (4|4|2)


http://sites.inka.de/picasso/Cappel/abstand.html
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs9/seite91.html
http://mathenexus.zum.de/html/geometrie/abstaende/AbstandPG.htm
Chris123
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Anmeldungsdatum: 15.02.2006
Beiträge: 43

BeitragVerfasst am: 06 Apr 2006 - 13:16:06    Titel:

@ halg: danke, das hat mir geholfen
dadurch bin ich jetzt darauf gekommen, wo mein fehler lag.
hätte einfach die geradengleichung für x in der ebenen gleichung einsetzen müssen
Turis
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Anmeldungsdatum: 27.12.2005
Beiträge: 856
Wohnort: Velbert

BeitragVerfasst am: 06 Apr 2006 - 17:04:41    Titel:

ebene??? also so kompliziert haben wir uns das damals nicht gemacht...

Gegeben:
g: x=a+r*b und Punkt P (wobei b=AB)

erstelle hilfsgerde zwischen P und g:
h=PA+s*b mit h * b = 0

d(P,g)=|h|


Das wäre hier
"Gerade durch A(2;1;-2) und B (1;0;2).
Welchen Abstand hat P(6;5;0) von der Geraden ?" (habe zum besseren Verständnis C als P benannt)

g: x=(2;1;-2)+r*(-1;-1;4)
h=(-4;-4;-2)+s*(-1;-1;4) mit h*(-1;-1;4)=0
=>
((-4;-4;-2)+s*(-1;-1;4))*(-1;-1;4)=0
(-4-s;-4-s;-2+4s)*(-1;-1;4)=0
(-4-s)*(-1)+(-4-s)*(-1)+(-2+4s)*(4)=0
4+s+4+s-8+16s=0
18s=0
s=0
=> h=(-4;-4;-2)
=> d(P,g)=|(-4;-4;-2)|=6
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