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Basis bei Untervektorraum
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habeinefrage
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Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 16:35:22    Titel: Basis bei Untervektorraum

Hi, ich hab da noch en Problem

Es sei V = R3.
a) Zeigen Sie, dass die Menge
U={(x,y,z)|x,y,z € R,x=y}
ein Unterraum von V ist.
b) Geben Sie eine Basis von U an.
c) Ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von V .

zu a)
U ist eine Ebene und somit eine Teilmenge von R3
U ist bezüglich der Addition und der Skalarmultiplikation abgeschlossen.
=> Untervektorraum

b) und c)
kann mir jemand erklären wie ich auf die Basis komme?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 05 Apr 2006 - 17:07:02    Titel:

Ob es eine Ebene ist oder nicht, ist absolut egal. Da R^3 ein Vektorraum ist, (0,0,0) elem U und die Abgeschlosseheit von Multi./Addition bewiesen ist, ist es ein Untervektorraum.

Sei T die lineaere Abbildung T : V -> U mit T(x,y,z) = (x,x,z). Der Kern dieser Abbildung sind alle Vektoren (0,k,0), also eindimensional, da V dreidimensional ist, ist U zweidimensional.

Eine Basis ist beispielsweise b1 = (1,1,0), b2 = (0,0,1), diese beiden Vektoren sind offensichtlich linear unabhaengig und xb1 + zb2 = (x,x,z) elem U, also <b1,b2> = U.

sD.
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