Logarithmus-Funktion ableiten und Produktregel

Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

kann mir jemand bitte erklären wie ich solch eine Funktion ableiten muss Confused

f(x)= x*(ln(x))^3

da muss man doch produktregel anwenden oder? also u´(x)= 1 und
v´(x)=3ln(x)^2 Question

oder muss man für ln(x) 1/x schreiben also 3/x? aber wo kommt dann diese hoch zwei hin? Rolling Eyes

hoffe ihr könnt mir helfen Crying or Very sad

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Also das ist ne Produktregel in Kombination mit Kettenregel...

Produktregel: (uv)' = u'v + uv'
Kettenregel: äussere * innere Ableitung

Also:

f(x)= x*(ln(x))^3

u = x --> u' = 1
v = (ln(x))^3 --> v' = 3 * (ln(x))^2 * 1/x

Dann alles zusammen:

f'(x) = 1 * (ln(x))^3 + x * 3 * (ln(x))^2 * 1/x
f'(x) = (ln(x))^3 + 3 * (ln(x))^2
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Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

jepp das hab ich jetzt so verstanden vielen vielen dank
aber
im buch steht als ergebnis:
f´(x)=(ln(x))^2 * (ln(x)+3)
f´´(x)= 3* ln(x)*(ln(x)+2) / x

is denn die erste ableitung die selbe nur umgeformt oder so Confused

ingu · Senior Member Anmeldungsdatum: 18.02.2006 Beiträge: 1001

jo, das ist dasselbe. schon mal was von Ausmultiplizieren gehört?

ln²(x) * (ln(x) + 3)
= ln²(x) * ln(x) + ln²(x) * 3
= ln³(x) + 3ln²(x)

Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

ja das is klar,aber wie komme ich von mein ergenis zu dieses ergebnis? Question

z.b. wenn ich nicht das ergebnis vor mir liegen hätte...

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Ich versteh Deine Frage nicht, denn Dein Ergebnis ist nicht vollständig...
Daher kannst du auch nie auf die Lösung kommen...

Und wenn die Lösung nicht gegeben ist, dann kannst Du das Ergebnis nur bekommen,
wenn Du die verschiedenen Ableitungsregeln beherrscht und Dich nicht verrechnest...

Den allgemeinen Rechenweg habe ich Dir oben angegeben...
Alles weitere sind Umformungen mit Logarithmengesetzen,
die mit der eigenlichen Ableitung aber nichts zu tun haben...
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Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

erstmal vielen dank für das Wink

ich habe hier noch eine aufgabe, aber komme wieder durcheinander Confused

eigentlich ist diese aufgabe sehr leicht,aber die lösung ist komisch Rolling Eyes

f(x) = ln(x/x)
hier kann man ja diesen Regel anwenden:
ln(a/b) = ln(a)- ln(b) also
ln (x/x) = ln(x)- ln(x)
f´(x)= 1/x - 1/x

und als lösung steht:
f'(x) = (1 - ln x)/x²

ähm von wo kommt denn diese ln(x) Question

und....

bei dieser Aufgabe:
f(x) = ln(x/x+1)
ist diese ableitung richtig:
f´(x)= 1x/x(x+1) wenn man hier noch kürzen würde, würde dies hier bleiben: f´(x)= 1/(x+1)

aber wir haben im unterricht auch mit dieses verfahren gemacht ln(a/b) und dort kam dies hier raus:
f´(x)= 1/x(x+1)

welche is denn da richtig Rolling Eyes

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Ich denke eher dass Du die Funktion:

f(x) = ln(x) / x meinst...

Und da brauchst Du dann die Quotientenregel:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²
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Sporty_Thiev · Junior Member Anmeldungsdatum: 12.12.2005 Beiträge: 89

Da gebe ich meinem Vorredner recht.
Du meinst sicherlich die Funktion ln(x)/x.
Da ist die Ableitung (1-ln(x))/x^2

ln(x/x) ist meiner Meinung nach Schwachsinn, weil für alle x 0 raus kommt. Also du praktisch da die Funktion y=0 stehen hast.

Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

aaaaaaaahh
tut mir leid, ich glaub ich hab das falsch gesehn
so stands im I-net
f(x) = ln x/x
und das hat mich wohl verwirrt Confused

wenn es da um die quotientenregel handelt dann ises ja sau leicht Laughing

vielen vielen dank...ich bin beinahe umgekippt Laughing

kann mir jemand vielleicht bei meiner nächsten frage noch helfen Embarassed

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

f(x) = ln(x/x+1)

Meinst Du damit f(x) = ln(x)/(x+1)
oder f(x) = ln(x/(x+1)) ???

Aus dem gegeben wohl richtigen Ergebnis würde ich auf f(x) = ln(x/(x+1)) schliessen, dessen Ableitung ist nach Umformung:

f(x) = ln(x/(x+1)) = ln(x) - ln(x+1)
f'(x) = 1/x - 1/(x+1)

Bringt man das jetzt auf den Hauptnenner:

f'(x) = (1 * (x+1) - 1 * x) / x*(x+1) --> f'(x) = (x+1-x) / x*(x+1)
f'(x) = 1 / x*(x+1)
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Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

ahaa ok vielen vielen dank,also bei dem verfahren mit dem gleichen hauptnenner...war ich unsicher, also man muss,damit man den zähler hat kreuz und quer rechnen sozusagen Very Happy

und für den nenner einfach nenner mal nenner Laughing

vieeeeln lieben dank, echt stark von euch Cool

von meiner lehrerin konnte ich nicht besser lernen Rolling Eyes

daher noch eine aufgabe....hoffentlich seit ihr nicht böse Embarassed

ich wollte nicht noch ein thread aufmachen...
diese aufgabe ist aber keine LN aufgabe

wir mussten in der klausur zwei parameter funktionen gleichsetzten:

4x/(x-a)^2 = 4x/(x-b)^2

so nun meine frage....ich habe wieder zwei verschiede lösungen,die nix miteinander zutun haben Rolling Eyes

eins haben wir im unterricht gemacht(müsste eigentlich stimmen,aber ich finde nicht Razz

weil ich entdecken konte, dass da was gekürztz wurde, was eigentlich nicht sien darf (von summen kürzen dummen Razz

) und eins hab ich selber grad gemacht hoffentlich kann jemand auch für mich nachrechnen und sagen welche davon richtig ist. Ich werde jetzt nicht alles hier hinschrieben,weil das zu viel arbeit wäre.
also die Lösung in der Klasse:
x= (a+b) / 2
meine Lösung Rolling Eyes

x= -4ab + 4b^3/a

naja es mag auch sien, dass keins von den beiden richtig is Evil or Very Mad

Wäre echt sehr dankbar,wenn jemand die richtige Lösung sagen würde Confused

also die Lösung:

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

4x / (x-a)² = 4x / (x-b)²......................|*(x-a)² und |*(x-b)²
4x * (x-b)² = 4x * (x-a)².....................|Binomische Klammern lösen
4x*(x²-2bx+b²) = 4x*(x²-2ax+a²).....|Klammern ausmutiplizieren
4x³-8bx²+4b²x = 4x³-8ax²+4a²x.......|-4x³ und |+8ax² und |-4a²x
8ax²-8bx² + 4b²x-4a²x = 0................|:4
2ax²-2bx² + b²x-a²x = 0....................|x² ausklammern und |x ausklammern
(2a-2b)x² + (b²-a²)x = 0....................|x gesamt ausklammern
x * [(2a-2b)x + (b²-a²)] = 0

Damit entsteht die erste Lösung x1 = 0
Die zweite erhält man, indem man die restliche Klammer noch verarbeitet:

(2a-2b)x + (b²-a²) = 0..................|-(b²-a²)
(2a-2b)x = -(b²-a²).......................|:(2a-2b)
x2 = -(b²-a²)/(2a-2b)

Das kann man jetzt noch etwas umformen...
-(b²-a²)/(2a-2b) = (a²-b²)/(2a-2b) = 1/2 * [ (a-b)(a+b)/(a-b) ]

Daraus ergibt sich dann für x2
x2 = 1/2 * (a+b) oder
x2 = a/2 + b/2 oder
x2 = (a+b)/2
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Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

vielen vielen dank wild_and_cool Wink

sehr sehr nett von dir...
aber das hier versteh ich immernoch nicht

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Ja man sollte immer kürzen was geht....

Wenn man natürlich nicht sieht das man das kürzen kann, kann man es auch nicht kürzen, logisch oder ?!?...

Man kann hier kürzen, da ja im Zähler ein Produkt steht...

(a²-b²) => Das ist ein Binomi --> (a+b)*(a-b)
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Raabia · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.09.2005 Beiträge: 70

asoooo

man kürzt ja den ganzen term...also den term der in der klammer steht Smile

so also:
(a+b)(a-b) / 2(a-b)

(a-b) kann man also kürzen bleibt nur diese lösung über Smile

yuhuuu dankeschööön Wink