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Lösung der DGL eines Federpendels
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rhönrad
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Anmeldungsdatum: 18.03.2006
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2006 - 12:55:53    Titel: Lösung der DGL eines Federpendels

Hallo!
Ich schreibe gerade eine Facharbeit über Differentialgleichungen am beispiel des ungedämpften harmonischen Oszillators (Federpedel). Die DGL der Auslenkung lautet: s´´(t)=-k²*s(t)
Ich weiß, dass die Lösung s(t)=A*sin(kt+c) ist, -logisch:-)
mein Problem: ich brauche einen lösungsweg, da ich nicht einfach schreiben kann, dass diese Lösung naheliegt! also igendein verfahren, das man in so einem ja relativ einfachn falll anwenden kann (und einen nicht in die komplexen zahlen führt)
Vielen Dank schon mal im voraus Very Happy Very Happy Very Happy
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2006 - 13:19:23    Titel:

In der Mathematik ist es aber ein gängiges Vefrahren Lösungen von DGL-en durch probieren zu finden. In diesem Fall würde man den Ansatz
s(t)=asin(t)+b*cos(t) machen. Du kannst dann zeigen, dass du so alle Lösungen erhälst.
rhönrad
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Anmeldungsdatum: 18.03.2006
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2006 - 13:46:14    Titel:

Danke, aber wie zeige ich dann, dass es keine anderen Lösungen gibt?
Eine weitere Lösung der DGL ist zB: s(t)=e^(ikx)
Und gibt es einen grund warum man deinen Ansatz macht?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2006 - 15:08:25    Titel:

Ist das Thema der Facharbeit, zu zeigen das es keine weiteren Loesungen gibt? Wuerde mich etwas wundern.

sD.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2006 - 15:48:29    Titel:

Hallo !

Als allgemeinen Ansatz kannst Du s(t) = Ae^(ikt) + Be^(-ikt) benutzen.
Wegen -k² = (ik)² = (-ik)², also i und -i als die einzigen Lösungen für z²=-1,
ist obiger Ansatz vollständig.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2006 - 18:34:54    Titel:

rhönrad hat folgendes geschrieben:
Danke, aber wie zeige ich dann, dass es keine anderen Lösungen gibt?
Eine weitere Lösung der DGL ist zB: s(t)=e^(ikx)
Und gibt es einen grund warum man deinen Ansatz macht?


Der Beweis ist nicht schwer, da musst du mal unter der Eindeutigkeit der Lösung eines AWP schauen. z.B. unter dem Stichpunkt
-lokale Lipschitzbedingung; Lipschitzstetigkeit.
rhönrad
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Anmeldungsdatum: 18.03.2006
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2006 - 16:44:15    Titel:

ok, danke dass hat mir jetzt weitergeholfen!!!!
lg
rhönrad
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Anmeldungsdatum: 18.03.2006
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 23 Apr 2006 - 17:15:11    Titel:

@Gauss
ich hbe mir das mit der Lipschitzstetigkeit jetzt mal näher angeguckt, weiß aber jetzt nicht, wie ich beweisen kann, dass meine funktion diese erfüllt.
Kannst du mir da nocheinmal helfen??
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