köpfige Kommision

away · Newbie Anmeldungsdatum: 11.04.2006 Beiträge: 5

1. Sei M eine n-elementige Menge. Zeige mittels voll. Induktion nach n element von N, dass die Anzahl der k-elementigen Teilmengen (0<=k<=n) von M gleich (n über k) ist.

2.In einer 10-köpfigen Kommision habe jedes Mitglied eine Stimme. Wieviel mögliche Mehrheiten gibt es ? (Teilmengen von mindst. 6 Elementen)

3. Zeigen: in einer 2-köpfigen Kommision gibt es 0,5*( 2^(2n) - (2n über n) )

4. Beweise: 2*(wurzel(n+1) - wurzel (n)) < 1/wurzel(n) < 2*(wurzel(n) -
wurzel(n-1))

5. Bestimmen den grössten ganzen Anteil [x]
x = 1 + 1/wurzel(2) + 1/wurzel(3) + 1/wurzel(4) + 1/wurzel(5) + ...+ 1/wurzel(1000000)

6. a,b von R mit Betrag(a-5) <= 3*10^(-3) und Betrag(b+7) <=2*10^-3
Schätze bestmöglich ab
a. ) betrag(a+b+2)
b.) betrag(ab+35)
c) betrag(a/b + 5/7)

7.M Teilmenge von R. Suche nach beschrängkung von
a.) M={x,dass x=1/n + 1/m ; m,n element von N}
b.) M={x,dass x^16<16}
a.) M={x,dass x^2-10x<=24}
a.) M={x,dass betrag(x-betrag(x-1)=-2x+1) }

Könnte mir jemand bitte ein paar Hinweise geben um zu verstehen? Bitte keine lösung geben, da ich selbst machen wollte .
Danke im voraus

Winni · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.08.2005 Beiträge: 3612

Hallo !

zu 1.: Anzahl der k-Teilmengen einer n-Menge = (Anzahl der k-Permutationen einer n-Menge)/(Anzahl der Permutationen einer k-Menge)
mit Anzahl der k-Permutationen einer n-Menge = n*(n-1)*...*(n-k+1)
und Anzahl der Permutationen einer k-Menge = 1*2*3*...*k

zu 2. und 3.: suche unter Kombinatorik entsprechende Beispiele

zu 4.: Mach zwei Ungleichungen draus (linksseitig und rechtsseitig) Multipliziere mit Wurzel(n)
Multipliziere z.B. (Wurzel(n(n+1)) - n) mit (Wurzel(n(n+1)) + n)
etc. Du siehst dann schon wie es weitergeht

zu 5.: Ausrechnen (Programm) oder abschätzen mit Integral(1/Wurzel(x))dx : untere Grenze x=1 und obere Grenze x=1000000 .
Ob das Integral genau genug ist weiß ich nicht, sollte es aber.

zu 6.: Wenn Dich der Betrag stört, dann quadriere. Ansonsten wende die bekannten Ungleichungen für Beträge an.

zu 7.:
a) Minimum für n und m einsetzen => Maximum fürs x
b) Ausrechnen
c) Ausrechnen mit Fallunterscheidung
d) Quadrieren, Zusammenfassen und nach dem verbliebenen Betrag umformen, Quadrieren, Ausrechnen

away · Newbie Anmeldungsdatum: 11.04.2006 Beiträge: 5

Habe trotzdem überall noch nicht verstanden, bitte dich ausfühlicher zu zeigen.
z.B.: zu 1.) müssen wir miittels vollständiger Induktion beweisen.
Danke

Winni · Senior Member Anmeldungsdatum: 04.08.2005 Beiträge: 3612

Ich werde hier nicht viel rechnen, aber noch ein paar Gedanken zu 1. mit
Induktionsschluss von k auf k+1 :

k=1: Anzahl der 1-Permutationen einer n-Menge = n
und Anzahl der Permutationen einer 1-Menge = 1! = 1

k->k+1:
Anzahl der (k+1)-Permutationen einer n-Menge = (n-(k+1)+1)*(Anzahl der k-Permutationen einer n-Menge)
= (n-k)*n*(n-1)*...*(n-k+1) = n*(n-1)*...*(n-k)
und
Anzahl der Permutationen einer (k+1)-Menge = (k+1)*(Anzahl der Permutationen einer k-Menge)
= (k+1)*k! = (k+1)!

Anzahl der (k+1)-Teilmengen einer n-Menge = ((n-k)/(k+1))*(Anzahl der k-Teilmengen einer n-Menge)
= ((n-k)/(k+1))*(n über k) = (n über k+1)

Generell solltest Du wissen, wie man mit Kombinationen umgeht, wie z.B.
"Anzahl der Permutationen einer k-Menge" überhaupt zustande kommt.
Da musst Du Deine Unterlagen bzw. Literatur nochmal durchsehen, da man die elementare
Herleitung unbedingt verstanden haben sollte.

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Was die anderen Punkte betrifft:
Fang halt 'mal an - z.B. Nr.4 und Nr.7 sind dankbare Aufgaben.

Wenn Du Dir Mühe gibst, dann gibts auch mehr Leute, die Dich unterstützen werden.
Und auch ausführlicher.