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Klausi1984
Newbie
Anmeldungsdatum: 14.04.2006
Beiträge: 13
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 Verfasst am: 14 Apr 2006 - 17:51:50 Titel: gleichmäßige Konvergenz |
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Hallo ihr!
Ich brauche dringend Hilfe bei einer Aufgabe. Es geht um den Nachweis von gleichmäßiger Konvergenz einer Reihe:
f(x) = Summe n=1 bis unendlich (x^{n+1} / n+1) für |x| kleiner gleich 1.
(kann die Formel leider nicht leserlicher schreiben :/ wo finde ich denn den Formeleditor?)
Liebe Grüße
Klausi |
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Winni
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612
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| Verfasst am: 14 Apr 2006 - 18:37:38 Titel: |
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Hallo !
Die Bedingung ist nicht ganz richtig, sie muss heißen:
f(x) = Summe(k=1 bis unendlich)((x^(k+1))/(k+1)) für |x|<1 oder x=-1 .
Denn für x=1 divergiert diese Reihe.
Sei fm(x) := Summe(k=1 bis m)((x^(k+1))/(k+1)) für alle m aus IN.
Kriterium für die Gleichmäßige Konvergenz (so oder so ähnlich):
|fm(x)-fn(x)|<a für alle m,n .
Sei nachfolgend stets m <= n :
fn(x)-fm(x) = Summe(k=m+1 bis n)((x^(k+1))/(k+1))
= (x^(m+1)) * Summe(k=0 bis n-m-1)((x^k)/(k+m+2))
m->unendlich => |fm(x)-fn(x)| -> 0 für |x|<1 wegen x^(m+1) ->0
und Summe(k=0 bis n-m-1)((x^k)/(k+m+2)) -> 0 .
Für x=-1 erhalten wir mit m->unendlich, dass Summe(k=0 bis n-m-1)(((-1)^k)/(k+m+2)) -> 0 . |
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Klausi1984
Newbie
Anmeldungsdatum: 14.04.2006
Beiträge: 13
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| Verfasst am: 14 Apr 2006 - 19:23:00 Titel: |
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| lieben Dank für deine schnelle Antwort, jedoch was ich oben geschrieben habe, ist so in der Aufgabe gegeben... |
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Klausi1984
Newbie
Anmeldungsdatum: 14.04.2006
Beiträge: 13
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| Verfasst am: 14 Apr 2006 - 20:55:09 Titel: |
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| also die genaue Frage ist, ob die Summe für |x| kleiner gleich 1 gleichmäßig konvergent ist |
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Winni
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612
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| Verfasst am: 14 Apr 2006 - 22:38:25 Titel: |
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Summe(k=1 bis unendlich)(1/(k+1)) divergiert , also keine Konvergenz und insbesondere keine gleichmäßige. Da muss man wohl dann unterscheiden:
x=1 oder x=-1 oder |x|<1 . |
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Klausi1984
Newbie
Anmeldungsdatum: 14.04.2006
Beiträge: 13
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| Verfasst am: 14 Apr 2006 - 23:58:09 Titel: |
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| woran sehe ich denn ob meine Reihe konvergent ist? Quotientenkriterium?! und wie führe ich den Beweis für gleichmäßige Konvergenz für |x|< gleich 1 |
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Winni
Senior Member
Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612
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| Verfasst am: 15 Apr 2006 - 14:13:09 Titel: |
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Ja, das Quotientenkriterium ist passend.
Die Reihe ist für -1 <= x < 0 alternierend, dafür ist das Leibnizsche Kriterium besonders gut geeignet. |
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