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Basis von Vektoren erzeugten Teilraums
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lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 21:31:41    Titel: Basis von Vektoren erzeugten Teilraums

Hallo,

folgende Aufgabe m�chte ich l�sen.


AUFGABE: Bestimmen Sie in Abh�nigkeit vom Parameter a Element R eine Bais des von den Vektoren [hier stehen 5 Vektoren der Art (1,2,3,4,5) mit nat�rlich unterschiedlichem Inhalt] erzeugten Teilraums von R5.


Einer der Vektoren hat den unbestimmten Parameter a, der Vektor lautet (1,2,2, a, a). Das a habe ich bestimmt. Aber jetzt bin ich doch noch nicht fertig mit der Aufgabe, oder?!

Wei� jemand vielleicht was "eine Basis von den Vektoren erzeugten Teilraums von R5" hei�t, also was damit gemeint ist?


�ber Hilfe w�rde ich mich freuen.
.:anna:.
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Anmeldungsdatum: 17.04.2006
Beiträge: 115
Wohnort: Ulm

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2006 - 22:40:12    Titel:

Ich weiss nicht, in wie weit dir der Begriff Basis klar ist?
Stell dir das ganze mal im R3 vor, da ist es einfacher. Dieser beschriebene Unterraum [oder bei dir Teilraum] wäre in meinem Beispiel entweder eine Gerade oder eine Ebene, die irgendwie im Raum liegt. Die Basis dieses Raumes ist ein System aus Vektoren, die den besagten Unterraum "aufspannen": Bei einer Geraden ein Richtungsvektor, bei einer Ebene zwei.
Wenn du 5 Vektoren hast und von einem Unterraum die Rede ist, sind sie höchstwahrscheinlich irgendwie linear abhängig. Daher bekommst du wahrscheinlich einen "4-dimensionalen" Unterraum, der von 4 Vektoren aufgespannt wird. Am besten, du schreibst deine 5 Vektoren in eine Art lineares Gleichungssystem, ungefähr so:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 [=0]
b1 + b2 + b3 + b4 + b5 [=0]
c1 + c2 + c3 + c4 + c5 [=0]
d1 + d2 + d3 + d4 + d5 [=0]
e1 + e2 + e3 + e4 + e5 [=0]
Dabei sind die Elemente die einzelnen Einträge der Vektoren a, ..., e. Das ganze bringst du auf Zeilenstufenform. Sind die Vektoren linear abhängig, bekommst du eine [oder sogar mehr] Nullzeilen. Die übrigen Zeilen dürften jetzt auf irgendeine Weise abhängig von deiner Variablen sein. Wenn du diese Zeilen wieder als Vektoren aufschreibst, hast du damit die Basis des gesuchten Unterraums.
Hoffe, das war verständlich erklärt (:
LG,
Anna
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