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Ganzrationale Funktionen
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blackrafi
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Anmeldungsdatum: 18.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 11:42:02    Titel: Ganzrationale Funktionen

Hallo,
ich hab da mal zwei Frage für gute Mathematiker.

1. Wie viele Punkte braucht man höchstens um eine Funktion zweiten, dritten, vierten, ... Grades festzulegen?

2. Gibt es bei einer ausreichenden Anzahl an Punkten immer eine eindeutige Lösung?


ich steh echt voll auf dem Schlauch, wäre dankbar für jederlei hilfe Wink
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 11:44:28    Titel:

Zitat:
höchstens
...du meinst mindestens

1. Grades: 2 Punkte, weil 2 Paramter m, b: f(x) = mx + b
2. Grades: 3 Punkte, weil 3 Parameter: f(x) = ax² + bx + c
usw.

für solche Funktionen gibts immer eine eindeutige Lösung. Anders ist es bei periodischen Funktionen.

Man kann natürlich auch statt eines Punktes die Steigung in einem Punkt o. ä. angeben.
blackrafi
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Anmeldungsdatum: 18.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 11:49:31    Titel:

Aha,

also kommt immer ein Parameter dazu, aber wie wäre es dann bei 3. Grad....wäre nett wenn du mir das auch noch sagen könntest, dann habe ich nämlich ein schema
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 11:55:49    Titel:

3. Grades:

f(x) = ax³ + bx² + cx +d

a, b, c, d sind zu bestimmen -> 4 Variablen -> 4 Gleichungen werden benötigt -> 4 Punkte
____________________________

4. Grades:

f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e
blackrafi
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Anmeldungsdatum: 18.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 12:44:06    Titel:

danke schon mal soweit...hat mir echt geholfen

Aber ich hätte da noch eine Zusatzfrage. die Variablen (z.B. a oder b) kann ich ja nicht in koordinaten angeben z.B. P(0 / 1).

Und kann man eine Lösungsafgabe machen, so dass man sehen kann dass dieses Verfahren stimmt?
blackrafi
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Anmeldungsdatum: 18.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 12:54:35    Titel:

wäre super wenn das jemand wüsste Very Happy
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 13:36:47    Titel:

Gesucht ist eine Funktion 3. Grades, die durch den Punkt P(1/2 | 7/8) läuft. Sie hat den Hochpunkt H(0 | 3/2) und an der Stelle 4/9 einen Wendepunkt.


f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

i) f(1/2) = 7/8
ii) f(0) = 3/2
iii) f'(0) = 0
iv) f''(4/9) = 0


i) 1/8 a + 1/4 b + 1/2 c + d = 7/8
ii) d = 3/2
iii) c = 0
iv) 8/3 a + 2 b = 0

die Lösung aus Gleichung i) und ii) ist sofort sehr hilfreich...! ->
i*) 1/8 a + 1/4 b + 3/2 = 7/8
<=> 1/8 a + 1/4 b = - 5/8
<=> a + 2b = - 5


i*) - iv) 5/3 a = 5 <=> a = 3b = - 4


f(x) = 3x³ - 4x² + 3/2




... was man net alles so tut in seiner Freizeit...!
blackrafi
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Anmeldungsdatum: 18.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 14:21:34    Titel:

vielen dank für deine Antworten!!!
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