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Faktorgruppe
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BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 18:33:16    Titel: Faktorgruppe

Sei C eine zyklische Gruppe und H eine UNtergruppe. Zeigen sie, dass die Faktorgruppe C/H auch zyklisch ist.

hab schon gezeigt, dass alle Untergruppen auch wieder zyklisch sind. aber weiter komm ich nicht. was ist denn der erzeuger der Faktorgruppe?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 21:11:48    Titel:

Ich schreibe mal einfach drauflos, ohne sonderlich nachzudenken. Wenn das Müll ist, können wir weiterreden Smile

Bew: Sei a ein erzeugendes Element von C. Man betrachte den kanonischen Homomorphismus h : C -> C/H mit h(x) = [x]. Sei [c] in C/H. Dann gilt offenbar c = a^k für ein geeignetes k. Damit gilt [c] = [a^k] = h(a^k) = h(a)^k = [a]^k. Damit ist [c] = [a]^k eine Potenz von k. qed
Prospero
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 67
Wohnort: bezauberte Insel

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 21:37:21    Titel:

hallo!
mit etwas kombinatorischer gruppentheorie ist das problem recht trivial (präsentierung von faktorgruppen)
ohne dies ist zumindest für C=Z (ganze Zahlen) alles klar (Z/mZ = Z_m zyklisch mit Ordnung m).
Ist C endlich zyklisch C=Z_s*t mit s*t nichttriviales Produkt nat. Zahlen (sonst gibts keine nichttrivialen Untergruppen), a Erzeugendes von C und H mit t Elementen wird von a^s erzeugt. Dann enthält C/H offensichtlich ein Element der Ordnung s, nämlich [a^t].
[a^k*t]=[a^j*t] für 0 < j,k < s führt man leicht auf einen Widerspruch, da das in C Probleme bereiten würde.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2006 - 23:13:44    Titel:

Sei C=<a> und H<C.
Nun ist ord(H)*ord(C/H)=ord(C)

Sei n=ord(C/H).
Betrachte die Abbildung:

h: Z/nZ-> C/H

m->[a^m]

Ein Erzeuger von C/H ist [a^ord(H)].
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 19 Apr 2006 - 08:45:52    Titel:

Hallo Kollegen Smile Es sieht eindeutig so aus, dass wir drei alle das selbe aussagen: nämlich, dass die Restklasse des erzeugenden Elements von C auch C/H erzeugt. Ich sehe einen Vorteil meines Beweises darin, dass ich eben keinen Repräsentationssatz benutze und damit von Z oder Z/nZ völlig loßgebunden bin.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2006 - 10:42:39    Titel:

Jo stimmt, die Beweise sind nicht schwer, aber ich war mir nicht sicher was der Erzeuger von H ist. Hab mir ja schon an Beispielen mit einfachen Matrizen
klar gemacht, dass es nicht der Erzeuger von G sein kann.
Naja danke nochmal!
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2006 - 13:03:52    Titel:

Der Erzeuger muss eine Potenz vom Erzeuger von C sein und die Potenz muss die Ordnung von C teilen, nach Lagrange.

Es reicht aber aus dies nur für die Gruppen Z/nZ bzw. Z zu zeigen, da alle zyklischen Gruppe zu einer dieser Gruppen isomorph ist.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 19 Apr 2006 - 13:21:28    Titel:

Zitat:
Es reicht aber aus dies nur für die Gruppen Z/nZ bzw. Z zu zeigen, da alle zyklischen Gruppe zu einer dieser Gruppen isomorph ist.


Genau den Repräsentationssatz meine ich auch und will den nicht haben. Es ist allermal bedenklich so ein starkes Ergebnis, welches offensichtlich zu Fallunterscheidungen führt, in so einer einfachen Aufgabe zu verwenden.

Zitat:
Der Erzeuger muss eine Potenz vom Erzeuger von C sein und die Potenz muss die Ordnung von C teilen, nach Lagrange.


Das klingt wunderlich, zumal ich einen Beweis angegeben habe, der ohne auskommt. Was ist denn, wenn die Gruppe C zu (Z,0,+) isomorph ist und H zur trivialen Untergruppe ({0},0,+)? Formulier mal deine Aussage mit Ordnungen dann.

Fazit: Entweder sieht Ihr das zu kompliziert, oder ich habe einen groben Fehler in meinem Beweis, den ich nicht sehe.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2006 - 13:40:47    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Es reicht aber aus dies nur für die Gruppen Z/nZ bzw. Z zu zeigen, da alle zyklischen Gruppe zu einer dieser Gruppen isomorph ist.


Genau den Repräsentationssatz meine ich auch und will den nicht haben. Es ist allermal bedenklich so ein starkes Ergebnis, welches offensichtlich zu Fallunterscheidungen führt, in so einer einfachen Aufgabe zu verwenden.



Das Ergebnis ist zwar stark, aber recht leicht durch die Abbildung

Z/nZ->C: k->a^k


zu beweisen. Für unendliche Gruppen nimmt man Z statt Z/nZ.

Für die andere Sache habe ich mich jetzt auf endliche Gruppen eingeschränkt, aber das kann man leicht auf unendliche Gruppen verallgemeinern.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 19 Apr 2006 - 14:34:28    Titel:

Jetzt sehe ich es Smile Wir haben beide recht

Zitat:
Der Erzeuger muss eine Potenz vom Erzeuger von C sein und die Potenz muss die Ordnung von C teilen, nach Lagrange.


[a]^1 ist eine Potenz des Bildes vom Erzeuger von C und 1 Teilt die Ordnung von C, egal, wie sie ist. Also ist der ganze Rest garbage, da beschreibt mehr, als notwendig Smile
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