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natürliche Exponentialfunktion
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schwer
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Okt 2004 - 10:34:58    Titel: natürliche Exponentialfunktion

Hallo zusammen. Wir haben eine schwere Aufgabe bekommen, wo ich nicht weiterkomme. Sie lautet:

Gegeben ist die Kurve K:y=e^x
a) Ermittle die Gleichung der Tangente im Punkt P(2|?) (Q(-1|?);R(-2|?)).
b) Wo berührt die Parallele zu der Geraden mit der Gleichung
ex+2 (y=1/e*x-5;y=Wurzel aus ex+1;y=1/e^2 * x-2) die Kurve K?
c) Vom Ursprung aus soll die Tangente an K gelegt werden. Gib die Gleichung der Tangente und ihren Berührpunkt an.

Ich bitte um Hilfe
e hoch x
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Okt 2004 - 12:59:05    Titel:

y=f(x)=e^x
y'=f'(x)=e^x

a)
P(2|?) , x=2, y=e²
Q(-1|?), x=-1, y=e^-1
R(-2|?), x=-2, y=e^-2

Tangente im Punkt P(2|e²)
t(x) = y'(2)(x-2)+y(2) = e²(x-2)+e² = e²x-e² , (e²=7,389056098931)

Tangente im Punkt P(-1|e^-1)
t(x) = y'(-1)(x+1)+y(-1) = e^-1*(x+1) + e^-1 = e^-1*x + 2e^-1 , (e^-1 = 0,367879441171)

Tangente im Punkt P(-1|e^-2)
t(x) = y'(-2)(x+2)+y(-2) = e^-2*(x+2) + e^-2 = e^-2*x + 3e^-2 , (e^-2 = 0,135335283237)

b)
Wo berührt die Parallele zu y=ex+2 die Kurve K?
f'(x)=e
e^x=e
x=1 , y=e^1=e

Wo berührt die Parallele zu y=(1/e)x-5 die Kurve K?
f'(x)=1/e=e^-1
e^x=e^-1
x=-1 , y=e^-1

Wo berührt die Parallele zu y=wurzel(e)x+1 die Kurve K?
f'(x)=wurzel(e)=e^0,5
e^x=e^0,5
x=0,5 , y=e^0,5

Wo berührt die Parallele zu y=(1/e²)x-2 die Kurve K?
f'(x)=1/e²=e^-2
e^x=e^-2
x=-2 , y=e^-2

c)
O(0|0)
S(x1|y1) = ?

t(x) = f'(x1)x = e^x1*x , außerdem t(x1)=f(x1):
e^x1*x1 = e^x1
x1=1, y1=e
t(x)=ex
S(1|e)
schwer
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Okt 2004 - 14:28:08    Titel:

erst mal herzlichen dank aber ich kapier fast null. ich gehe mal langsam ran.
bei aufgabe a:

"Tangente im Punkt P(2|e²)
t(x) = y'(2)(x-2)+y(2) = e²(x-2)+e² = e²x-e² , (e²=7,389056098931)"

wie kommst du auf y'(2)(x-2)+y(2) ???
schwer
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Okt 2004 - 14:38:23    Titel:

moment ich habe sdoch verstanden aber was mache ich nun mit
e^2x-e^2

???
e hoch x
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Okt 2004 - 15:04:00    Titel:

t(x) = e²x-e² ist die Tangente, also eine Gerade (y=ax+b, hier a=e², b=-e², e² ist eine Zahl und keine Variable)

* * * * * * * * * * * * * * *
PS
2 und 3 hochgestellt kannst du nicht nur so x^2, x^3 schreiben, sonder auch x², x³ mit Hilfe der "AltGr" Taste.
schwer
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Okt 2004 - 16:46:04    Titel:

gut danke a) habeich nun gut verstanden nun zu b):

"Wo berührt die Parallele zu y=ex+2 die Kurve K?
f'(x)=e
e^x=e
x=1 , y=e^1=e"

warum ist f'(x)=e

und was rechnest du danach mit e^x=e usw.
das verstehe ich leider nicht ????
e hoch x
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Okt 2004 - 17:44:16    Titel:

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. Der Koeffizient vor dem x ist die Steigung.
Z.B. Geraden f(x)=2x+5 und g(x)=2x-99999 sind parallel.

Die Tangente an einer Kurve in einem Punkt ist die Gerade, die die gleiche Steigung hat, wie die Kurve in diesem Punkt. Die Steigung einer Kurve findet man mit Hilfe der Ableitung.


Wo berührt die Parallele zu y=ex+2 die Kurve K?
f(x)=e^x , das ist die Kurve
y=ex+2 , das ist eine Gerade mit der Steigung e (nebenbei: e ist die zweitwichtigste Zahl in der Mathematik)
Die Tangente (Berührungsgerade) hat also Steigung e. Jetzt können wir x finden.
f'(x) = e
(e^x)' = e^x = e
x=1 , y=f(1)=e^1=e
schwer
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Okt 2004 - 09:33:46    Titel:

hallo kannst du das markierte nochmal in worten sagen:

Wo berührt die Parallele zu y=ex+2 die Kurve K?
f(x)=e^x , das ist die Kurve
y=ex+2 , das ist eine Gerade mit der Steigung e (nebenbei: e ist die zweitwichtigste Zahl in der Mathematik)
Die Tangente (Berührungsgerade) hat also Steigung e. Jetzt können wir x finden.
f'(x) = e
(e^x)' = e^x = e
x=1 , y=f(1)=e^1=e
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Okt 2004 - 15:08:40    Titel:

schieb
schwer
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Okt 2004 - 14:35:07    Titel:

hallo??
super wäre natürlich wenn jemand zu dem markierten auch noch aufgabe c etwas erklärt ...
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