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Leistungsanpassung
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spike78
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Anmeldungsdatum: 22.02.2006
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 08:55:09    Titel: Leistungsanpassung

Hallo zusammen,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter.

Aufgabe:

Normale Schaltung mit U=10V, Ri 040 Ohm

-----------RI--------
| |
U | Ra
| |
----------------------

Ra soll mit Hilfe der Ableitung der Funktion P(Ra) berechnet werden.

Wer kann mir dabei helfen ?

Danke und Gruß

Michael
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 09:30:49    Titel:

Soll das eine Reihenschaltung aus Ri und Ra sein? Ist U die gesamtspannung? Ich schätze mal, dass P(Ra) die Leistung in Abhängigkeit von Ra sein soll. Aber was willst Du dann mit der Ableitung erreichen? Damit kannst Du "nur" die Steigung von P(Ra) bestimmen!
spike78
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Anmeldungsdatum: 22.02.2006
Beiträge: 26

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 09:35:53    Titel:

Hi,

ja es ist eine Reihenschaltung mit einer Gesamtspannung von 10 Volt. Mit der Ableitung Pa(Ra) soll man Ra berechnen. Aus der Lösung weis ich, dass Ra = Ri (Anpassung) ist. Nur wie ich über die Ableitung dahin kommen soll, weis ich nicht.

Gruß
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 10:28:53    Titel:

Stichwort "Leistungsanpassung" - Ich sollte mal die Überschrift genauer lesen.

Nun gut:
Bei der Leistungsanpassung soll die Ausgangsleistung maximiert werden, d.h. P = Ua * I soll maximiert werden, wobei Ua die Spannung ist, die über Ra anliegt!

I = U / (Ri + Ra), Ua = U - I*Ri = U - [U*Ri / (Ri+Ra)]

Nun können wir P = Ua * I mit denen uns bekannten Werten in Abhängigkeit von Ra schreiben:

P(Ra) = (U - [U*Ri / (Ri+Ra)]) * U / (Ri + Ra) = [U²/(Ri+Ra)] - [ U²*Ri / (Ri + Ra)²]
= U²(Ri+Ra-Ri) / (Ri+Ra)² = U²*Ra / (Ri+Ra)²

Nun die Ableitung bilden, um das Maximum zu bestimmen:

P'(Ra) = [U²(Ri+Ra)² - U²*Ra*2*(Ri+Ra)] / (Ri+Ra)^4

P'(Ra) = 0 <=> [U²(Ri+Ra)² - U²*Ra*2*(Ri+Ra)] = U²(Ri+Ra)[(Ri+Ra) - Ra*2] = 0 <=> (Ri+Ra)-2*Ra = 0, da Ra≥0 und damit U² ≠0 und (Ri+Ra)≠ 0

(Ri+Ra)-2*Ra = Ri-Ra = 0 <=> Ri = Ra
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 10:34:43    Titel:

Um genau zu sein müßte noch die 2. Ableitung gebildet werden, um zu überprüfen, ob es ein Maximum ist, oder es ist zu untersuchen, ob P'(Ra) an der Stelle Ri einen Vorzeichenwechsel von + nach - hat!
arothe
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Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2007 - 12:47:41    Titel:

Hallo, der Beitrag ist nun schon etwas älter. Trotzdem ist mir eine kleine Unstimmigkeit beim Nachrechnen aufgefallen. Beim Bilden der ersten Ableitung komme ich für den ersten Term auf ein anderes Ergebnis.

Ich glaube, dass statt

P'(Ra) = [U²(Ri+Ra)² - U²*Ra*2*(Ri+Ra)] / (Ri+Ra)^4

folgendes stehen sollte:

P'(Ra) = [U² / (Ri+Ra)² - U²*Ra*2*(Ri+Ra)] / (Ri+Ra)^4.

Meiner Meinung nach fehlt also ein Bruchstrich.

Glücklicherweise bleibt das Ergebnis für die Nullstelle der Ableitung dann aber gleich, so dass obiges Ergebnis schon gestimmt hat. Gut ansonsten eine sehr schön klare Rechnung. Hat mir geholfen.

Danke.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2008 - 12:13:16    Titel:

arothe hat folgendes geschrieben:
Ich glaube, dass statt

P'(Ra) = [U²(Ri+Ra)² - U²*Ra*2*(Ri+Ra)] / (Ri+Ra)^4

folgendes stehen sollte:

P'(Ra) = [U² / (Ri+Ra)² - U²*Ra*2*(Ri+Ra)] / (Ri+Ra)^4.

Meiner Meinung nach fehlt also ein Bruchstrich.


Hier fehlt kein Bruchstrich. Die Funktion lautet:

P(Ra) = U²*Ra / (Ri+Ra)²

Die Quotienten Regel lautet:

(g/h)' = [(g'*h) - (g*h')] / h²

Wenn Du nun

g = U²*Ra
und
h = (Ri+Ra)²

setzt, erhälst Du für

g' = U²
und
h' = 2*(Ri+Ra)

=> P'(Ra) = (g/h)' = [(U² * (Ri+Ra)²) - (U²*Ra * 2*(Ri+Ra))] / (Ri+Ra)^4 = [U²(Ri+Ra)² - U²*Ra*2*(Ri+Ra)] / (Ri+Ra)^4
Krombacher05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 833

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2008 - 14:49:18    Titel:

Take hat zum knappen 2-jährigem Themengeburtstag seine brilliante Antwort von damals bestätigt und liegt damit goldrichtig!

Kann man nicht besser und ausführlicher erklären!
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