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Maximalberechnung / Differentialrechnung
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Matze77
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Anmeldungsdatum: 25.04.2006
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 18:19:55    Titel: Maximalberechnung / Differentialrechnung

Hallo,
ich stehe hier gerade etwas auf dem Schlauch, ich versuche eine alte Aufgabe nachzuvollziehen, die ich aber nur noch teilweise habe. Vielleicht kann ja Jemand helfen.


Für eine oben offene Dose soll das maximale Volumen berechnet werden, wenn ein Blechbedarf von 30 dm² berechnet wird. Sie haben die Nebenbedingung und die Extrembedingung bereits aufgestellt und sind zu der folgenden Teillösung gekommen.
(π ist das Pi-Zeichen)

V = f(d) = (A/4)d - π/16 d³

Mein Ansatz war

V´= f´(d) = A/4- (3π)/16 d²
(Das müsste 1. Ableitung bilden sein)

A/4 - (3π)/16 d² = 0
(..mit 0 gleichsetzen)

Jetzt kommt viel überkorrigiertes Gekritzel, müsste umstellen nach d sein

A/4 = (3π)/16 d²

d² = (A*16) / (3*π*4)
d² = (4 A ) / (3 π )

..und da verliessen sie mich dann.

Ich hab nur noch eine 2. Ableitung gefunden,
V´´=f´´= -(6π / 16) d



Kann mir jemand helfen, die Lösung zu finden?
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 18:43:37    Titel:

Hi,

Oberfläche ==> O = 2*r*PI*h + r²*PI = 3000 (Maße in cm)
daraus h = f(r) = ...

einsetzen in:
Volumen ==> V = r²*PI*h

ergibt V(r), ableiten und =0 setzen !

ergibt r(Lösung)
Matze77
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Anmeldungsdatum: 25.04.2006
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 18:50:37    Titel:

Richtig, aber:

Da weder r noch h gegeben sind, gibt es bei der Bedingung von 30cm² Blech unendlich viele Möglichkeiten, wie gross r und h sein können. Gesucht wird aber die Lösung mit dem maximalen Volumen ?
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 18:53:58    Titel:

Jo,

das ist aber gerade möglich mit dem beschriebenen Lösungsweg:

Du erhälst aus der Gleichung (I) [Oberfläche = ...] eine Beziehung zwischen r und h, diese Beziehung setzt du in die Gleichung des Volumens [V = ...] ein, damit ist V nur noch eine Funktion von r, ableiten = 0 setzen (evtl MIN- Max prüfen) und fertig !
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 19:04:45    Titel:

So geht's:

O = r²*PI + 2*r*PI*h = 300000 [mm²]

h = (300000 - r²*PI)/(2*r*PI)

eingesetzt in V:

V = r² * PI * h = r² * PI * (300000 - r²*PI)/(2*r*PI)) = 150000r - PI/2 * r³

V' = 150000 - 1,5*PI*r² = 0 ===> r² = 150000/(1,5*PI) = 100000/PI ===> r = 178,41241mm
Matze77
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Anmeldungsdatum: 25.04.2006
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 25 Apr 2006 - 19:24:55    Titel:

Okay, ich acker das mal durch, danke soweit.
Matze77
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Anmeldungsdatum: 25.04.2006
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 26 Apr 2006 - 16:44:13    Titel:

Hallo aldebaran,
deine Lösung war natürlich vollkommen richtig. Ich habe sie jetzt mal in die bei uns übliche Schreibweise übersetzt, bzw. die von mir angefangene Aufgabe vervollständigt. Ich mache meine FH-Reife neben einer Techniker-Ausbildung, da dürften "einfachere Schreibweisen" gelten als im Hochschulbereich.

(π ist das Pi-Zeichen)


V = f(d) = (A/4)d - π/16 d³


1. Ableitung
V´= f´(d) = A/4- (3π)/16 d²

2. Mit Null gleichsetzen
A/4 - (3π)/16 d² = 0

3. nach d umstellen
A/4 = (3π)/16 *d²

d² = (A*16) / (3*π*4)
d² = (4 A ) / (3 π )
d=Wurzel aus (4 A ) / (3 π )
d=Wurzel aus (4A / 3π)
d= Wurzel aus(3000cm³*4)/( 3π)
d=35,68 cm
r=17,84 (Entspricht deiner Lösung)

4. Zweite Ableitung bilden, d einsetzen und ausrechnen

V´´=f´´= -(6π / 16) d

V´´=f´´= -(6π / 16) * 35,68
Ausrechnen unnötig, da ein negativer Wert rauskommt. Dieser ist kleiner als 0. Damit ist der Wert ein Maximum und die Aufgabe gelöst.
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