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Differentialrechnung - Ableitung - Kettenregel - Logarithmus
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quadrat
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Anmeldungsdatum: 10.04.2006
Beiträge: 74

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2006 - 19:43:03    Titel: Differentialrechnung - Ableitung - Kettenregel - Logarithmus

Guten Tag

Ziemlich viele Differentialgleichungen habe ich gelöst. Doch bei der folgenden tritt chronisch ein Fehler ein, und ich sehe diesen nicht.


Problem:
Differenziere folgende Funktion unter Verwendung der Kettenregel
y = ln(1/x^2) + ln[(x+4)/x)]

Lösung:
y = ln(1/x^2) + ln[(x+4)/x)]
y = u + v daraus folgt: y' = u' + v'

A) Erste Funktion
u = ln(1/x^2)

1) Substitution: t = t(x) = 1/x es folgt: y' = dt/dx = -1/x^2
2) Substitution: v = v(t) = t^2 es folgt: v' = dv/dt = 2t
äussere Fkt. : u = ln(v) es folgt: u' = du/dx = 1/v

Kettenregel: u' = du/dx = dv/dt * dt/dx =
= (2*t) * (-1/x^2)

Rücksubstitution: u' = (2*1/x) * (-1/x^2) = -2/x

y = ln(1/x^2) + ln[(x+4)/x)]


B) Zweite Funktion
v = [(x+4)/x)]

Substitution:
p = p(x) = (x+4)/x)
p = p(x) = m/n (p': Ouotientenregel) es folgt: y' = dp/dx = -4/x^2
äussere Fkt. : v = ln(p) es folgt: v' = dv/dp = 1/p
Kettenregel: v' = dv/dx = dv/dp * dp/dx = 1/p * -4/x^2 = -4/(p*x^2)
Rüchsubstit.: V' = -4/(p*x^2) = -4/[((x+4)/x)*(x^2)] = -4/(x^2+4x)


Somit habe ich alles zusammen zur Lösung von
y = ln(1/x^2) + ln[(x+4)/x)]
y = u + v
daraus folgt: y' = u' + v' = -2/x + -4/(x^2+4x)
Soweit so.

Das Lehrbuch bringt folgende Lösung:
y = ln(1/x^2) + ln[(x+ 4)/x] = -3*lnx + ln(x+4)
y' = -3/x + 1/(x+4)

Nochmals die Frage: wenn die erste gegeben ist, stimmt dann die zweite und warum?



Für Hinweise wäre ich dankbar.


Gruss
quadrat


Zuletzt bearbeitet von quadrat am 02 Mai 2006 - 23:57:45, insgesamt 4-mal bearbeitet
glaess
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 193

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2006 - 19:46:04    Titel:

ln(x+4)/x)

hier geht eine Klammer mehr zu wie auf, wie genau soll dieser Term heissen?

ln((x+4)/x) oder ln(x+4)/x??
quadrat
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Anmeldungsdatum: 10.04.2006
Beiträge: 74

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2006 - 19:57:21    Titel:

Guten Abend glaess


glaess hat folgendes geschrieben:
ln(x+4)/x)

hier geht eine Klammer mehr zu wie auf, wie genau soll dieser Term heissen?

ln((x+4)/x) oder ln(x+4)/x??



Ja, da steht die Klammer am falschen Ort:

So muss es heissen: ln[(x+4)/x]


Hoffentlich bleibt es auch der einzige.

Gruss
quadrat
glaess
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 193

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2006 - 20:05:08    Titel:

Also ich versteh nicht warum man da Substituieren muss!


f(x)= ln(1/x^2) + ln[(x+4)/x)]


f'(x)=1/(1/x^2)*(-2/x^3) + 1/[(x+4)/x]*[(x-(x-4))/x^2]

f'(x)=x^2*(-2/x^3) + 1/[(x+4)/x]*[(x-(x-4))/x^2]

f'(x)=-2/x + 4/(x^2+4x)
quadrat
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Anmeldungsdatum: 10.04.2006
Beiträge: 74

BeitragVerfasst am: 03 Mai 2006 - 00:32:46    Titel:

Guten Abend glaess


glaess hat folgendes geschrieben:
Also ich versteh nicht warum man da Substituieren muss!


f(x)= ln(1/x^2) + ln[(x+4)/x)]


f'(x)=1/(1/x^2)*(-2/x^3) + 1/[(x+4)/x]*[(x-(x-4))/x^2]

f'(x)=x^2*(-2/x^3) + 1/[(x+4)/x]*[(x-(x-4))/x^2]

f'(x)=-2/x + 4/(x^2+4x)



Zur Substitution:
A) Um die Funktion u(x) = ln(1/x^2) zu differenzieren, brauch es in der Tat keine Substitution:

Varianten a):
u = ln(1/x^2) = ln x(^-2) = -2*ln x
u' = -2*1/x = -2/x

Variante b:
u = ln(1/x^2) = ln[(1^2)/x^2] = ln[1/x]^2 = 2*ln(1/x)
Substituti: t = t(x) = (1/x) es folgt: t' = dt/dx = -1/(x)
äuss. Fkt: u = 2*u(t) = 2*ln(t) es folgt: u' = du/dt = 2/t
Kettenrg: u' = du/dx = du/dt*dt/dx = 2/t * (-1/x^2) = -2/[(x^2)*t]
Rücksub: u' = -2/[(x^2)*(1/x)] = -2/x

Wie diese Variante ohne Substitution gehen kann, sehe ich nicht;
wg.: u(x) = u[t(x)] ; darum Substitution - oder nicht?


Zu den Lösungen:

1) Deine Lösung stimmt mit meiner überein
Anmerkung: Deine Lösung

"f'(x)=1/(1/x^2)*(-2/x^3) + 1/[(x+4)/x]*[(x-(x-4))/x^2]"
hat in der letzten Klammer einen Vorzeichenfehler(?):
Korrekt: f'(x)=1/(1/x^2)*(-2/x^3) + 1/[(x+4)/x]*[(x-(x++++4))/x^2]

Darum auch hier:
f'(x)=x^2*(-2/x^3) + 1/[(x+4)/x]*[(x-(x++++4))/x^2]

Darum auch hier:
"f'(x)=-2/x + 4/(x^2+4x)"
Kor:
f'(x)=-2/x - 4/(x^2+4x)
(??)

2) wie kommt das Lehrbuch (Papula) auf das wunderliche Ergebnis:
y = ln(1/x^2) + ln[(x+ 4)/x] = -3*lnx + ln(x+4)
y' = -3/x + 1/(x+4)
Schreibfehler?


Es gibt da noch die Variante ln(a) + ln(b) = ln(a*b):

y = ln(1/x^2) + ln[(x+ 4)/x] = ln[(1/x^2)*[x+ 4)/x] = ln[(x+4)/x] =
= ln[(x+4)/x^3]

Substitu: t(x) = (x+4)/x^3 = p/q
p(x) = x+4 es folgt: p'(x) = dp/dx = 1
q(x) = x^3 es folgt: q'(x) = dq/dx = 3x^2
Quotientenrg:
t(x) = p/q
es folgt: t'(x) = [1*x^3 - 3x^2(x-4)]/x^6 = [-2(x+6)]/x^4

äus. Fkt:
y(t) = ln(t) es folgt: y'(t) = dy/dt = 1/t

Kettenrg: y'(x) = dy/dx = dy/dt * dt/dx = 1/t * [-2(x+6)]/x^4
Rücksub: y'(x) = 1/t * [-2(x+6)]/x^4 = 1/(x+4)/x^3 * [-2(x+6)]/x^4 =
= -2(x+6)/(x^2+4x)

Warum diese Variante ein anderes Ergebnis liefert, ist mir nicht klar.
Aber jetzt muss ich unter Decke


Gruss
quadrat
glaess
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Anmeldungsdatum: 02.05.2006
Beiträge: 193

BeitragVerfasst am: 03 Mai 2006 - 00:57:19    Titel:

Ja ich habe da ein Vor[quotzeichenfehler drin! Sory!
Das kommt davon das man auf den alten tagen nochunbedingt im Kopf rechnen will! Smile

Zitat:


2) wie kommt das Lehrbuch (Papula) auf das wunderliche Ergebnis:
y = ln(1/x^2) + ln[(x+ 4)/x] = -3*lnx + ln(x+4)
y' = -3/x + 1/(x+4)
Schreibfehler?



ln(a/b) = lna -lnb

f(x) = ln1 - ln(x^2) + ln(x+4)-lnx
Aber selbst dann komme ich nicht auf die Lösungaus dem Papula
Gehe nun aber auch erstmal ins Bett, vielleicht kommt die antwort ja im Traum! Smile[/quote]
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