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Intvertierbare Matrix
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lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2006 - 08:30:06    Titel: Intvertierbare Matrix

Hallo,

ich bekomme zu folgender Aufgabe keine Lösung.

Für welche a element R ist die Matrix

0 1 0 a
-2 -2 -1 a
-2 -2 -2 a
2 3 1 0

invertierbar. Berechnen Sie für diese a die Inverse mit Gauß.



Da es "welche a" und "diese a" heißt, denke ich, ist a in jeder Zeile unterschiedlich, ich habe also a1 in der 1. Zeile, a2 in der 2. Zeile und a3 in der 3. Zeile.


Ich habe das LGS aufgelöst, so dass ich nur noch die a's und das dazugehörige x4 habe.

Das Ergebnis ist:
-3 a1 x4 - 2 a2 x4 + 2 a3 x4
<=>
x4 (-3a1 - 2a2 + 2a3)


Aber das bringt mich irgendwie nicht weiter, denn ich habe da jetzt vier unbekannte stehen.
Muss ich das LGS nach x4 auflösen?
BBB
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 303

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2006 - 10:54:44    Titel: Re: Intvertierbare Matrix

lineare_algebra hat folgendes geschrieben:

Da es "welche a" und "diese a" heißt, denke ich, ist a in jeder Zeile unterschiedlich, ich habe also a1 in der 1. Zeile, a2 in der 2. Zeile und a3 in der 3. Zeile.

Wenn dort mehrmals die Variable a steht, dann ist es üblich, dass dieses auch die gleichen a's sind. Wink
Gucken, für welche a sie sich invertieren lässt (wann ist eine Matrix invertierbar?), und dann für diese a die inverse Matrix bestimmen.

Fang einfach mal an zu invertieren, dann siehst du schon, worauf es hinausläuft...
lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2006 - 16:35:40    Titel:

Hallo,

herzlichen Dank für deine Hilfe.

Ich bin mit Gauss jetzt soweit gekommen:

0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 (a-2)
0 0 1 -a

=> Zeilenvertauschen
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 -a
0 0 0 (a -2)

=> III mal 1 / -a (ist die Operation erlaubt?)
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 (1/-a) 0
0 0 0 (a-2)


Wenn ich die Zeilen beliebig multiplizieren kann, muss a doch nun R ohne null sein, denn wenn z.B. a = 3 ist,
dann wird aus III 0 0 0 1/-3 0
und aus IV 0 0 0 1

III *-3 => 0 0 1 0
term
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Anmeldungsdatum: 03.01.2006
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2006 - 17:04:57    Titel:

da die determinante=0 ist, kann man keine inverse berechnen!!!!
lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2006 - 17:07:30    Titel:

Da es bestimmt eine Lösung gibt, versuche ich es mit anderen Zeilenumformungen nochmal Sad
lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2006 - 17:26:51    Titel:

Ich habe nun:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 a


Mein Problem ist aber das gleiche.
Im Idealfall wäre a = 1, aber es könnte auch 2, 3, -4 oder eine sonstige Zahl aus R sein, denn ich müsste es ja nur mit 1/Zahl multiplizieren und schon stände da eine 1.
lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2006 - 13:55:12    Titel:

Stimmt mein Verdacht über a?

Ist a = R ohne 0?

Aber wenn ich jetzt von A die Determinante berechnen will, dann braucht a doch einen bestimmten Wert oder?
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2006 - 15:34:05    Titel:

Zitat:
da die determinante=0 ist, kann man keine inverse berechnen!!!!

Vielleicht hast du einen Tippfehler beim Abschreiben gemacht?

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 a

Wenn diese Matrix durch den Gauss-Algorithmus erreicht wurde, ist sie falsch.

Für quadratische Matrizen gilt:
det A = 0 <=> man kann eine Nullzeile mit GA erzeugen <=> A ist nicht invertierbar

Setze a= 1 und es folgt det(A) ist ungleich 0. Also ist da ein Widerspruch. Denn die Determinante ist für jede Matrix eindeutig bestimmt. Und wie du schon vorher richtig gerechnet hast ist det(A)=0.
lineare_algebra
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Anmeldungsdatum: 16.04.2006
Beiträge: 31

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2006 - 17:15:05    Titel:

Ich habe nochmal nachgerechnet,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 a
ist auf jedenfall mein Ergebnis.

Gilt vielleicht bei dieser Aufgabe etwas von Gauss was sonst von Gauss gilt nicht? Vielleicht kein Zeilenvertauschen, vielleicht kein muliplizieren?


Das Inverse berechne ich doch bei Gauss auf der anderen Seite gleich mit (in dem man die selben Umformungen mit einer
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Matrix macht).
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2006 - 17:38:20    Titel:

Nun wenn du eine inverse ausgerechnet hast, kannst du ja nachprüfen, ob wirklich gilt A*A^(-1) = Einheitsmatrix

Aber das wird nicht gehen. Ich habe die Determinante nochmal mit Mathematica ausgerechnet. Also die ist ganz sicher gleich 0 für alle a aus R!
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