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quadratische(?) Betragsgleichungen und -ungleichungen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> quadratische(?) Betragsgleichungen und -ungleichungen
 
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Rulli
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 20:17:04    Titel:

ich nehm mal an dass es sich um eine reelle gleichung handelt, nicht um eine komplexe?

die definitionsmenge der gleichung ist die menge der reellen zahlen, da ja beide seiten der gleichung für alle reellen zahlen definiert ist
also, erst mal ist ja x²+2 immer positiv (ein quadrat ist immer positiv, plus 2, und es bleibt positiv...) also gilt |x²+2| = x²+2. Damit vereinfacht sich die gleichung shcon enorm!
|x²-4| + x²+2 = 6 <=> |x²-4|= 4-x² = -(x²-4)
aber nach der definition des betrages gilt ja genau dann |a| = -a, wenn a <0 oder a=0, also ist diese gleichung das gleiche wie:
x²-4 <= 0 (<= bedeutet "kleiner oder gleich")
<=> x²<=4
<=> -2 <= x<= 2
die lösungsmenge ist also [-2,2] Very Happy
ist doch ganz einfach oder?
--
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 20:24:02    Titel: danke Rulli, aber...

Erstmal Danke ich Rulli für die Antwort. Darauf bin ich gar nicht gekommen.
So gesehen tatsächlich verständlich.
Aber wie schreib ich das dann in ner anderen Aufgabe, in der es sich nicht so leicht kürzt und ich 4 Fallunterscheidungen machen muss?
und vorallem auch hier: wie sieht die Defintitionsmenge dazu aus?
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 21:15:34    Titel:

was nennst du "definitionsbereich"?
meines wissensnach ist der definitionsberecih einer gleichung f(x) = g(x), wobei f und g reelle funktionen sind, der durchschnitt der definitionsbereiche beider funktionen...

in diesem fall ergibt das die menge der reellen zahlen...

der rest sind eher fallunterscheidungen...
|x| = a
- wenn a>0 oder a=0, dann x=a oder x=-a
- wenn a<0 dann ist die gleichung unmöglich

nen definitionsbereich für ne betragsgleichung zu suchen kann nämlich anders in einer echten sache der unmöglichkeit enden, da du dann sozusagen nen definitionsbereich zum bestimmen des befinitionsbereichs anlegen musst, da du ja zum bestimmen des definitionsbereichs selbst wieder ne (un)gleichung lösen musst...

für ungleichungen sind die fallunterschidungen
|x| >= a
- wenn a <= 0, dann ist es immer wahr
-wenn a>0, dann x >= a oder x<=-a

|x|<=a
-wenn a>0, dann -a<=x<=a
-wenn a=0, dann x=0
-wenn a<0, dann unmöglich

|x| < a
-wenn a>0, dann -a<x<a
-wenn a <= 0, dann unmöglich

|x| > a
-wenn a >0, dann x>a oder x<-a
-wenn a=0, dann ist es immer wahr, ausser wenn x=0
-wenn a<0, dann ist es immer wahr

ist das besser? Confused
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 21:53:35    Titel:

ich hab z.B. im Buch eine Beispielaufgabe, die dort so gelöst wird, und ich kanns nicht ganz nachvollziehen und v.a. in andere Aufgaben zu übertragen:

|x-5| +2 ≥ |x-2|


Fall 1: x-5 ≥ 0 und x-2 ≥ 0
x ≥ 5 und x ≥ 2
D1 = [5;unendlich[ (Zeichen nicht gefunden)
L1 = { }

Fall2: dann für x-5 > 0 und x-2 ≤ 0

Fall3: x-5 < 0 x-2 ≥ 0

und Fall 4: beides < 0

das wird dann zusammengefasst zu einer Gesamtlösungsmenge, die ich durch die verschiedenen Teillösungsmengen der Fälle rauskriege. Die hab ich vorher durch einsetzen von + und – für die Beträge berechnet. Aber die Frage ist, ob die Reihenfolge bei den 4 Möglichkeiten irrelevant ist oder nicht, weil die ist ja wichtig für die Intervallschreibweise der jeweiligen Teildefinitionsmenge. Gibts da irgendwie eine generell gültiges Schema für die Vierer-Fallunterscheidungen?

z.B. wie die Aufgabe oben?

Wie werden die Teildefinitionsmengen zur Gesamtdefinitionsmenge und Teillösungsmengen zur Lösungsmenge (am Zahlenstrahl) zusammengefasst?

Falls noch irgendwer durchblickt......Danke,Danke,Danke
Rulli
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 22:18:03    Titel:

ach so macht ihr das!!! Very Happy
ok, dann versuch ich es halt nochmal

du musst für JEDEN betrag 2 fälle untersuchen... d.h.
- 1 betrag -> 2 fälle
- 2 beträge -> 4 fälle
- 3 beträge -> 9 fälle
...
- n beträge -> n² fälle

bei 2 beträgen musst du dann die 4 fälle >>, <<, ><, <> untersuchen
das heisst für jeden fall hast du 2 ungleichungen zu lösen (ohne beträge), und dieser teildefinitionsbereich ist dann der durschschnitt der lösungsmengen der 2 ungleichungen...

die gleichung oben wäre dann:
1ter fall: x²-4>= 0 und x² +2 >= 0
da x²+2 immer positiv ist, bleibt nur noch x²-4>=0 <=> x>=2 oder x<=-2... dieser teil des defintionsbereichs ist dann ]-unendlich, -2]u[2, unendlich[
da alles positiv ist, ist
|x²-4| =x²-4 und |x²+2| = x²+2
die gleichung ist dann in diesem fall x²-4 + x²+2 = 6 <=> 2x² =8 <=> x=2 oder x=-2

2ter fall:
x²-4 >=0 und x²+2 <=0
die zweite ungleichung ist unmöglich, also dieser teildefinitionsbereich leer, also bist du hier shcon fertig

3ter fall:
x²-4 <= 0 und x² +2 >=0
die 2te ungleichung ist immer wahr, also bleibt nur noch x² -4 <= 0 <=> -2<=x<=2. dieser teildefinitionsbereich ist also [-2,2]
da x²-4 <= 0 ist, gilt |x²-4| = - (x² -4) = 4-x²
da x²+2 <= 0 ist, gilt | x² +2| =x²+2
in dem fall schreibt sich die gleichung
4-x² + x²+2 = 6 <=> 6=6
diese gleichung ist immer wahr, also ist dieser teillösungsbereich gleich dem teildefinitionsbereich, sprich [-2,2]

4ter fall
x²-4 <=0 und x²+2<=0
die zweite ungleichung ist unmöglich, also dieser teildefinitionsbereich leer, also bist du wieder fertig

die gesamtlösung ist dann die vereinigung der lösungsbereiche von 1 und 3 (die beiden anderen waren ja leer), sprich [-2,2]

ists diesmal besser Very Happy
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 22:36:50    Titel:

warum kann ich x+2 im ersten Fall weglassen, nur weil es positiv ist? Weil es bei der auflösung die zweite wurzel aus -2 ergeben würde (kein Element der reellen Zahlen)?
Wie wirkt sich das auf meine Mengen aus? Fällt das auf dem Zahlenstrahl weg, schließlich ist damit der eine Teil ja nicht definiert, also leere Menge?
Außerdem danke, konnt schon einiges nachvollziehen, langsam machts klick Cool
Rulli
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 22:39:24    Titel:

ne gesamtdefinitionsmenge "gibts nicht"
also es gibt sie schon... es wäre die vereinigung deiner teildefinitionsmengen... aber das ergibt bei gleichungen dieser baurt immer wieder die menger der der reellen zahlen

die reihenfolge der fallunterscheidungen ist total egal... musst sie nur alle durchnehmen, und keinen vergessen
Rulli
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 22:47:39    Titel:

also...
x²+2 ist immer positiv, d.h. die ungleichung x²+2>=0 ist immer wahr, also kannst du die weglassen.... jede reelle zahl x erfüllt diese bedingung... also zählt nur noch die andere bedingung... dein teildefinitionsbereich wäre dann der durchschnitt der lösungen deiner beiden ungleichungen (z.b. x²-4>=0 und x² +2 >=0)
die lösung von x²-4>=0 ist]-unendlich,-2]u[2, unendlich[
die lösung von x²+2 >=0 ist R
der teildefinitionsbereich = (]-unendlich,-2]u[[2,unendlich[) n R = ]-unendlich,-2] u [2,unendlich[

genauso ist x²+2 <=0 immer falsch, es gibt also keine reelle zahl x die diese bedingung erfüllt, aslo ist der teildefinitionsbereich leer
den jeder durchshcnitt mit der leeren menge ist wieder leer

freut mich dass es langsam klick macht Very Happy Very Happy
--
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 23:15:45    Titel: an Rulli

Zum x-ten Mal danke für die vielen hilfreichen Antworten, denke, dass ich mit der Aufgabe jetzt doch noch fertig werd.... . Will auch nichts überreizen, wäre aber toll, wenn du dir evtl. noch drei andere Aufgaben ansehen würdest. Unser Mathelehrer hat uns nämlich ohne jede Erklärung über sowas wie Betragsgleichungen für ’ne Woche ca. 30 solcher Aufgaben ausgeteilt und befindet sich jetzt auf Klassenfahrt (wo er auch gleich bleiben könnte).
Hab zwar schon drei Tage mit Informationssuche verbracht, aber richtig klar komm ich nicht.
Jedenfalls wärs spitze, du scheinst da ja wirklich verdammt gut durchzublicken....also:

|2x² - 10x + 8| - x² + 8x – 7 > 0 ( gesucht L(x) und D über Fallunterscheidung)

|x² + 2x - 8| + | x-2| > 15/4


Und hier weiß ich schon mit der Aufgabenstellung nichts anzufangen, geschweige denn mit der Ungleichung.

|x²+ ax + 9| > 0 Wählen Sie die Formvariable a so, dass L= R
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 23:23:45    Titel:

Also, falls dus machen würdest,natürlich nicht mehr dringend heute , muss eh mal schlafen, wär aber schon was, wenn ich dich morgen oder übermorgen nochmal antreffen könnte?
Also dann Gute Nacht!
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