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quadratische(?) Betragsgleichungen und -ungleichungen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> quadratische(?) Betragsgleichungen und -ungleichungen
 
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Gast






BeitragVerfasst am: 07 Okt 2004 - 16:23:46    Titel: quadratische(?) Betragsgleichungen und -ungleichungen

Kann vielleicht jemand diese Betragsgleichung lösen, oder hat irgendwer eine äquivalente Beispielaufgabe? Ich brauch die Definitions- und Lösungsmenge:

|x²-4| + |x²+2| = 6

Wenn |x²+2| nicht definiert ist, ist dann der 1.Fall (soweit kam ich noch) auch nicht definiert, oder liegt der Def.-bereich bei 2 und –2?

Ändert sich was bei Ungleichungen dieser Art?
[/list]
Gast







BeitragVerfasst am: 08 Okt 2004 - 07:39:01    Titel:

ok, kein problem... ich fang jetzt mal an, weiss aber noch nicht ob ich fertig werde ehe ich los muss... wenn nicht, dann spätestens heute abend... will ja nicht dass du noch bei deinen herzallerliebsten betragsgleichungen verzweifelst Wink .

dann mal los...

also ungleichung 1:
du hast ne betragsungleichung mit 1 betrag, das heisst du musst die in 2 fälle aufteilen, > und <... d.h. du hast dann auch wieder 2 teildefinitionsbereiche, und 2 teillösungsmengen, ud die gesamtlösungsmenge ist die vereinigung deiner teillösungsmengen... immer das gleiche blabla...
1ter fall:
2x² - 10x + 8 >=0
das ist ne ungleichung 2 ten grades, ihre lösungsmenge (was ja das erste ist wie der erste teildefinitionsbereich) ist
D1= ]-unendlich, 1[u]4,unendlich[
(d.h. die wurzeln der entsprechenden gleichung sind 1 und 4)
in dem fall ist ja dann |2x² - 10x + 8| = 2x² - 10x + 8
die ungleichung schreibt sich dann
2x² - 10x + 8 -x² +8x-7>0
<=> x²-2x+1>0
<=> (x-1)² >0
<=> x<0 oder x>0
da aber der teildefinitonsbereich dieses falles ]-unendlich,1] u [4,unendlich[ ist, darf man ja auch nur die nehmen die auch in D1 liegen und gleichzeitig die ungleichung erfüllen... das ergibt in diesem fall die teillösungsmenge:
L1=(]-unendlich,0[ u ]0,unendlich[)n D1 =(]-unendlich,0[ u ]0,unendlich[) n (]-unendlich,1] u [4,unendlich[) = ]-unendlich,0[ u ]0,1] u [4,unendlich[
2ter fall:
2x² - 10x + 8 <=0
diese ungleichung 2ten grades hat als lösungsmenge [1,4], und somit ist auch der zweite definitionsbereich D2= [2,4]
in dem fall gilt: |2x² - 10x + 8 | = -(2x² - 10x + 8 )= -2x² + 10x - 8
die ungleichung schreibt sich dann
-2x² + 10x - 8 -x² +8x -7 >0
<=> -3x² +18x -15 >0
<=> x² -6x +5 <0
...
<=> 1<x<5
die 2te teillösungsmenge ist ja dann der durchschnitt aus ]1,5[ und D2:
L2 = ]1,5[ nD2 =]1,5[ n [2,4] = [2,4]
die gesamt lösungsmenge ist dann
L=L1 u L2 = R/{0}

so nun muss ich aber los
den rest später
Rulli
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Okt 2004 - 18:42:13    Titel:

ok, dann die nächste... jetzt hab ich wieder besser zeit


wir waren bei nummer 2, also |x² + 2x - 8| + | x-2| > 15/4
wieder das gleiche.... diesmal sinds 2 beträge, also musst du 4 fälle unterscheiden... >>,><,<>,<<

1ter fall: x² + 2x - 8>=0 und x-2>=0
die 2te dieser ungleichungen gibt x>=2
die erste gibt x <= -4 oder x>= 2
das heisst der erste teildefinitionsbereich ist D1 = [2,unendlich[ n (].unendlich, -4] u [2,unendlich[) = [2,unendlich[
in dme fall gilt
|x² + 2x - 8| = x² + 2x - 8
|x-2| = x-2
die anfangsungleichung wird dann
x² + 2x - 8 + x - 2 > 15/4
<=> x² +3x -10 > 15/4
<=> 4x² +12x -55 >0
<=> x>5/2 oder x< -11/2
ein vergleich mit der definitions menge gibt dann
L1=]5/2 , unendlich[

2ter fall:
x² + 2x - 8>=0 und x-2 <=0
die zweite dieser ungleichungen gibt x<=2
die erste gibt, wie im ersten fall, x<= -4 oder x>=2
der 2te teildefintionsbereich ist dann D2 = ]-unendlich, 2] n (]-unendlich,-4] u [2,unendlich[) = ]-unendlich, -4] u {2}
in dem fall gilt
|x² + 2x - 8| = x² + 2x - 8
|x-2| = -(x-2) = 2-x
die anfangsungleichung wird dann
x² + 2x - 8 + 2 -x > 15/4
<=> x² +x -6 > 15/4
<=> 4x² +4x -39 >0
<=> x>(-1+2 Wurzel(10))/2 oder x< (-1 -2 Wurzel(10))/2
ein vergleich mit der definitions menge gibt dann
L2=]- unendlich, (-1-2 Wurzel(10))/2[

3ter fall:
x² + 2x - 8<=0 und x-2 >=0
die zweite dieser ungleichungen gibt x>=2
die erste gibt -4<= x<= 2
der 3te teildefintionsbereich ist dann D3 = [2, unendlich[ n [-4, 2] = {2}
da sich der definitionsbereich auf 2 reduziert, kannst du sofort 2 in die gleichung einsetzen, und sehen ob sie dadurch erfüllt wird:
|2² + 2*2 - 8| + | 2-2| =0 < 15/4
2 erfüllt also die ungleichung nicht... also L3={}

4ter fall:
x² + 2x - 8<=0 und x-2 <=0
die zweite dieser ungleichungen gibt x<=2
die erste gibt -4<= x<= 2
der 4te teildefintionsbereich ist dann D2 = ]-unendlich, 2] n [-4, 2] = [-4, 2]
in dem fall gilt
|x² + 2x - 8| = -(x² + 2x - 8 )= -x² -2x +8
|x-2| = -(x-2) = 2-x
die anfangsungleichung wird dann
-x² - 2x + 8 + 2 -x > 15/4
<=> -x² -3x +10 > 15/4
<=> 4x² +4x -39 >0
<=> (-3- Wurzel(34))/2 <x<(-3+ Wurzel(34))/2
(-3- Wurzel(34))/2 =-4,41...
(-3+ Wurzel(34))/2 =1.41....
ein vergleich mit der definitions menge gibt dann
L4=]- 4, (-3+ Wurzel(34))/2[

die gesamt lösungsmenge ist dann
L = L1 u L2 u L3 u L4 =]5/2 , unendlich[ u ]- unendlich, (-1-2 Wurzel(10))/2[ u {} u ]- 4, (-3+ Wurzel(34))/2[ = ]-unendlich, (-3+ Wurzel(34))/2[ u ]5/2 , unendlich[

hoffe hab mich nicht verrechnet, dafür übernehm ich keine garantie
Rulli
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Okt 2004 - 18:49:07    Titel:

und noch die letzte... die geht schneller zum glück Smile

also zu erst dann mal die aufgabenstellung...
du aollst einfach alle a finden, so dass diese ungleichung für alle x erfüllt ist

ein betrag ist ja immer positiv... da du hier positiv und nicht null suchst, reduziert sich das auf "nicht null" (ich schreib das <>)
|x²+ ax + 9| > 0 <=> x²+ ax + 9 <> 0
und das für alle reellen x
das heisst ja aber genau das dass die gleichung x²+ ax + 9= 0 keine lösung haben darf! aber eine quadratische gleichung hat genau dann keine lösung wenn die determinante negativ wird, also:
a² - 4*9< 0 <=> a² < 36 <=> -6 < a<6

fertig! Very Happy
--
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Okt 2004 - 19:55:53    Titel:

viel zu krass! echt, danke für die Rettung! Ich kopier mir jetzt mal den Rest auch noch und schau, wie ichs hinkrieg, bin schon den ganzen Tag drüber, aber langsam gehts ganz gut, und mit dieser Hilfestellung...
also, danke!
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Feb 2005 - 23:18:02    Titel:

habe ein Problem, kann mir mal einer vielleicht die Betragsgleichungen mal erklären?
Habe hier nämlich ein paar Aufgaben zu lösen und komm da einfach nicht weiter!

1. Ix^2 - xI=24
2. Ix+1I=Ix-1I
3. Ix^2 + 2x - 1I=IxI

Danke!!!
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