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Körper
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MaThE:)
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Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 18:25:37    Titel: Körper

Hi @ all Wink

Ich habe eine Aufgabe und ich kann die leide rnicht lösen, wäre sehr dankbar wenn ihr mir dabei helfen könntet bitte.

* Bildet (Z6;+6; ·6) einen Körper? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ich weiss nicht mal was einen Körper ist und, wenn nich es wüsste , weiss ich nicht was mit Z6, gemeint ist ... Crying or Very sad
Kann jemand mir bitte dabei helfen bzw die Lösung bekannt geben bitte

Mit herzlichen Dank

LG
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 18:45:00    Titel:

Jeder Körper ist Nullteilerfrei (, denn aus a*b = 0 und a^(-1) * a = 1 für a <> 0 und b<> 0 folgt offenbar 0 = a^(-1) * a * b = 1 * b = b, Widerspruch). In Z/6 gilt hingegen 3*2 = 0. Damit ist man fertig.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 20:07:20    Titel:

tip Z mod nZ ist ein Körper, wenn n eine Primzahl ist (oder was sagt algebrafreak dazu. ich meine ich hätte das mal bewiesen, aber keinen bock das nochmal zu machen).
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 20:11:40    Titel:

Zitat:
tip Z mod nZ ist ein Körper, wenn n eine Primzahl ist


Jo. Sogar genau dann, wenn. Und was ich oben geschrieben habe (was bereits der vollständige Beweis ist) ist eine Instanz (also Speziallfall) des "Per-Hand"-Beweises für die obige Aussage. Ein Element z in Z/n ist genau dann multiplikativ invertierbar, wenn kein Nullteiler und genau dann wenn ggt(z,n) = 1. Damit enthält Z/n genau dann keine Nullteiler, wenn n eine Primzahl ist.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 21:11:37    Titel:

Ich glaub ich hab den Beweis mal irgendwie mit dem euklidischen algorithmus gemacht, als ich noch kein algebra sondern nur la gehört habe. so ist er natürlich wesentlich einfacher.
MaThE:)
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Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 22:34:31    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Jeder Körper ist Nullteilerfrei (, denn aus a*b = 0 und a^(-1) * a = 1 für a <> 0 und b<> 0 folgt offenbar 0 = a^(-1) * a * b = 1 * b = b, Widerspruch). In Z/6 gilt hingegen 3*2 = 0. Damit ist man fertig.


ich danke euch für eure nette hilfe aber könntest du bitte bisschen erklären denn ich kann dich nicht so richtig folgen ???

danke

lg
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 22:39:57    Titel:

Ein Nullteiler ist ein Element a<>0 eines Ringes (sagen wir mal) R für das ein Element b <> 0 existiert, sodass a*b = 0 gilt. Ein Körper hat eben keine Nullteiler, denn wenn eben ein solcher existieren würde, so gäbe es Elemente a,b, beide nicht 0 mit a*b = 0. Aber, da es zu a ein Inverses existieren muss mit a^(-1) * a = 1, gilt eben

b = 1*b = a^(-1)*a*b = a^(-1) * 0 = 0.

Das ist ein Widerspruch, denn b darf nach Annahme nicht 0 sein. Nun gebe ich Dir einen Nullteiler in Z/6 an. Es gilt nämlich, dass 3 in Z/6 ein Nullteiler ist. Es gilt nämlich für 2 <> 0

3*2 = 0

Damit kann Z/6 kein Körper sein.
MaThE:)
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Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 22:44:30    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Ein Nullteiler ist ein Element a<>0 eines Ringes (sagen wir mal) R für das ein Element b <> 0 existiert, sodass a*b = 0 gilt. Ein Körper hat eben keine Nullteiler, denn wenn eben ein solcher existieren würde, so gäbe es Elemente a,b, beide nicht 0 mit a*b = 0. Aber, da es zu a ein Inverses existieren muss mit a^(-1) * a = 1, gilt eben

b = 1*b = a^(-1)*a*b = a^(-1) * 0 = 0.

Das ist ein Widerspruch, denn b darf nach Annahme nicht 0 sein. Nun gebe ich Dir einen Nullteiler in Z/6 an. Es gilt nämlich, dass 3 in Z/6 ein Nullteiler ist. Es gilt nämlich für 2 <> 0

3*2 = 0

Damit kann Z/6 kein Körper sein.

Danke habe ich verstanden super erklärt Wink aber habe eine Frage zu den Zeichen :
* --> meinste damit (muliplizieren oder Verknüpfung)
<> ---> meinste damit kleiner , größer oder was meinst du ... Rolling Eyes

Vielen herzlichen Dank

LG
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 22:46:17    Titel:

Zitat:
* --> meinste damit (muliplizieren oder Verknüpfung)


Jo. Je nach dem, wo es steht.

Zitat:
<> ---> meinste damit kleiner , größer oder was meinst du ...


<> heißt "ungleich".
MaThE:)
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Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 180

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 22:47:35    Titel:

vielen Dank

ung gute nacht + erfolgreiche woche Wink
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