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Wendepunkte
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lasslos
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Anmeldungsdatum: 23.04.2006
Beiträge: 50

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 19:40:47    Titel: Wendepunkte

Hallo ich bräuchte bei der folgenden Aufgabe mal eure Hilfe

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^4- 2ax^3 + 6x² -5

Zuerst sollte man heraufinden wann f keinen Wendepunkte hat.
Ich denke, dass hab ich auch geschafft hab als Ergbnis raus, dass wenn a zwischen -2 und 2 liegt keinen Wendepunkt gibt.

Nun ist die zweite Frage warum für keinen Wert von a die Funktion genau einen Wendepunkt hat.

Ja das versteh ich nciht warum kann die Funktion nicht einen Wendepunkt haben, dabei ist es doch möglich, wenn man am Ende in der Wurzel bei der PQ Formel 0 raushat hat oder etwa nicht?
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 19:51:35    Titel:

Allgemein sind die Wendepunkte bei dieser Funktion bei {a+sqrt(a^2-1),a-sqrt(a^2-1)}.

Genau einen Wendepunkt hat es (nämlich bei x=a), wenn a^2-1=0, folglich mit a={-1,1}.

Keinen Wendepunkt gibt es, wenn a^2-1<0 (dann ist nämlich die Wurzel negativ und der Ausdruck nicht definiert in R). Das ist wenn a zwischen -1 und 1 ist (nicht -2 und 2).

Gruss
lasslos
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Anmeldungsdatum: 23.04.2006
Beiträge: 50

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 19:55:29    Titel:

ja danke aber soweit war es mir ja auch in etwas klar, aber die Frage ist ja warum es nicht genau einen Wendepunkt geben kann
Matthias20
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 21:27:06    Titel:

Hi,

es kann nicht nur eine WP geben, weil es sich um eine Funktion vierten Grades handelt. Diese Funktionen haben immer zwei oder keinen WP.

f(x)=x^4- 2ax^3 + 6x² -5
f'(x) = 4x³ - 6ax² + 12x
f''(x) = 12x² - 12ax + 12

Wenn Du jetzt f''(x) = 0 rechnest und bei der Mitternachtsformel als Diskriminante die Null bekommst, waere das ja eine doppelte NST, also eine NST ohne Vorzeichenwechsel. Wenn kein VZW, dann kein weiterer WP.

Gruss:


Matthias
lasslos
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Anmeldungsdatum: 23.04.2006
Beiträge: 50

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 21:32:17    Titel:

Vielen Dank für die schnelle Hilfe
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 14 Mai 2006 - 21:50:33    Titel:

Würde da etwas anders argumentieren:
Start:
f(x)=x^4- 2ax^3 + 6x² -5
f'(x) = 4x³ - 6ax² + 12x
f''(x) = 12x² - 12ax + 12

zunächst zu fas:
Die zweite Ableitung f''(x) = 12x² - 12ax + 12 = 12(x² - ax + 1) hat genau nur eine Nullstelle, wenn a=2 oder a=-2 ist!
(der zugehörige x-Wert ist dann x=1 bzw x=-1)

dann zum Thema Wendepunkt:
f(x) besitzt nach Def. an der Stelle x1 einen Wendepunkt,
wenn f"(x1)=0 und zugleich f"'(x1) ungleich Null ist.
Hier gilt zB für a=2 dass dann x1=1 einzige Nullstelle von
f"(x) = 12(x² - 2x + 1) ist.
f'''(x) = 24(x-1) ist aber für x1=1 ebenfalls gleich Null und damit ist bei x1=1 also nach Def. keine Wendestelle....
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