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Beweise die Irrationalität von...
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Vino
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Anmeldungsdatum: 28.04.2006
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2006 - 13:09:50    Titel: Beweise die Irrationalität von...

Hi Leute!!! Razz

Ich soll beweisen, dass Wurzel 2 + 4te Wurzel 3 ( ich weiß leider net, wie mans anders schreibt Wink ) irrational ist.

Wie dass Question
Ingo3142
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Anmeldungsdatum: 15.04.2006
Beiträge: 185

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2006 - 13:15:04    Titel:

Sagt dir Widerspruchsbeweis was?
Kirby
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Anmeldungsdatum: 08.05.2006
Beiträge: 352
Wohnort: Münster

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2006 - 13:24:45    Titel:

Ich denke, worauf Ingo anspielt ist das hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Euklids_Beweis_f%C3%BCr_Irrationalit%C3%A4t_von_Wurzel_2

Das sah ich mir auch grade an und versuchte das ganze mal analog dazu zu beweisen, raus kam folgendes Chaos:

Also. Gesucht werden 2 teilerfremde Zahlen p und q, für die gilt:

(p/q)²=3

also, p²=3q²

Ausgehend davon, dass 3q² ungerade ist, muss auch p² ungerade sein.
Entsprechend halten wir fest: p ist ungerade

Setzen wir (p/2)=r , folgt:

(2r)²=3q² oder 4r²=3q²

Wir stellen um nach q² und sehen:

q²=4/3r²

Daraus schließen wir: Auch q ist ungerade

Jetz wissen wir, dass p und q ungerade sein müssen, also nicht durch 2 teilbar sind und haben die Irrationalität bewiesen, oder was?
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2006 - 13:41:50    Titel:

bei wurzel 3 geht der beweis über primfaktorzerlegung, da 3/5 auch beide ungerade und teilerfremd, aber trotzdem rational sind.
Kirby
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Anmeldungsdatum: 08.05.2006
Beiträge: 352
Wohnort: Münster

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2006 - 13:47:43    Titel:

BBFan18 hat folgendes geschrieben:
bei wurzel 3 geht der beweis über primfaktorzerlegung, da 3/5 auch beide ungerade und teilerfremd, aber trotzdem rational sind.



Ääähm.. ich dachte 3 wäre ein Primzahl? Was zerleg ich denn da noch? Und inwiefern beweist das irgendwas?
Bin ich die Einzige, die das irgendwie nicht versteht? Sad
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 15 Mai 2006 - 13:55:04    Titel:

Annahme sqrt(3)=p/q
=>3q²=p²

Damit muss p² durch 3 teilbar sein, da die linke seite durch 3 teilbar ist. Dann muss p² aber auch durch 9 teilbar sein, da in der primfaktorzerlegung von p mind. eine 3 vorkommt und in p² also min. zwei Dreien. Insbesondere ist die Anzahl der 3en in p² gerade, da es ein quadrat ist; folglich ist auch die anzahl der 3en in q² gerade.
=> die linke seite Seite enthält eine ungerade Anzahl von 3en, die rechte eine gerade. Da 3 prim ist, ist das ein Widerspruch (da Primfaktorzerlegungen über Körpern eindeutig sind).

Damit ist sqrt(3) nicht rational.
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