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Differenzialgleichung
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xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2004 - 18:53:34    Titel: Differenzialgleichung

Hallo zusammen,

ich brauch auch mal eure Hilfe.

Kann jemand diese Differenzialgleichung lösen, und am besten noch ein paar kurze Sätzchen dazu schreiben?

y^2 - (y' * y)^2 - a^(-2) = 0

(a = konstant)
seldom guest
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Okt 2004 - 20:34:55    Titel:

y^2 - (y'*y)^2 - a^(-2) = 0

(y'*y)^2 = a^(-2) - y^2

y'*y = sqrt[a^(-2) - y^2]

dy/dx*y = sqrt[a^(-2) - y^2]

ydy/sqrt[a^(-2) - y^2] = dx

-1/2 * sqrt[a^(-2) - y^2] = x + C1

sqrt[a^(-2) - y^2] = -2(x + C1) = -2x+C

a^(-2) - y^2 = (C-2x)^2

y^2 = a^(-2) - (C-2x)^2

y = sqrt[a^(-2) - (C-2x)^2] , so ungefähr ...
Rull
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Okt 2004 - 21:34:01    Titel:

diese lösung ist nicht ganz richtig, denn:
1) das umstellung der gleichung gleich am anfang führt auf (y'*y)^2 = y^2 - a^(-2)
separation der variablen bringt dann
y dy / sqrt[y^2 - a^(-2)] = dx
=> sqrt[y^2 - a^(-2)] = x+C
=> y = sqrt[(x+C)^2 + a^2] ODER y = -sqrt[(x+c)^2 + a^(-2)]

2) bei der separation der variablen teilt man ja durch y^2 - a^(-2)
man muss da immer testen was geschieht wenn dieser ausdruck null ist, andernfalls verliert man eine lösung. in diesem fall verliert man echt eine, y = 1/a oder y = -1/a sind nämlich offensichtlich auch lösungen

die allgemeine lösung lautet dann:
y = sqrt[(x+C)^2 + a^2] oder y = -sqrt[(x+c)^2 + a^(-2)] oder y = 1/a oder y = -1/a
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2004 - 23:20:15    Titel:

Vielen Dank. Werd morgen mal schaun, ob ich damit weiterkomme.
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