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komplexe quadratische gleichung
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Icewolf2k1
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Anmeldungsdatum: 27.04.2006
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 20:48:13    Titel: komplexe quadratische gleichung

Hallo, ich habe hier folgende Aufgabe: z^2+ 4z + 10 = 0 z € C

z ist eine komplexe Zahl, in diesem Fall z =( Wurzel 3 +1i )

okay, ich befinde mich ja in der gaußschen Zahlenebene, ich kann hier also keine normal pq anwenden oder so!?

setze also ein und rechne aus, ist mein Weg überhaupt zulässig, bringt das was?:

( Wurzel 3 + i )^2 + (4*Wurzel3 +4i) + 10 = 0

das ( )^2 errechne ich über die inverse komplexkonjugierte Zahl, -->

(2 + 2*Wurzel3 *i) + (4*Wurzel3 +4i) + (10 + 0i) = 0

hmm, wenn ich weiter ausrechne, komme ich halt auf eine komplexe Zahl mit Re und Im, diese kann ich wieder komplex konjugieren und habe dann irgendwann 0 = irgendein reller Wert !

Was mache ich falsch, wo liegt die Strategie?


Gruß

Icewolf
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 21:00:25    Titel:

Doch pq-Formel geht ohne weiteres. Allerdings verstehe ich den für z vorgegebenen Wert nicht. Zumindest komme ich beim Einsetzen nicht auf 0, sondern auf 12+4*Sqrt(3)+[4+2*Sqrt(3)]*i und das hattest du ja auch schon raus.
Mit der pq-Formel komme ich jedenfalls auf z_{1/2}=-2 +- Sqrt(6)*i und das erfüllt die Gleichung auch..
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 21:07:15    Titel:

Zitat:
okay, ich befinde mich ja in der gaußschen Zahlenebene, ich kann hier also keine normal pq anwenden oder so!?


Genau. Für die pq-Formel im komplexen hackt Dir der Korrektor die Hoden ab. Lösen von quadratischen Gleichungen in lC macht man eben durch formales Einsetzen von a+ib in die Gleichung rein. Das reduziert die Gleichung irgendwann mal auf eine Gleichung der Form u + i v = 0, wobei u und v reell sind (und polynome in lR). Damit ist mit dem komponentenweisen Vergleich a+ib = 0 gdw. a=0 und b=0 das ganze auf ein System von reelen Polynomgleichungen reduziert, welche immer eine Lösung haben. So geht das.
Icewolf2k1
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Anmeldungsdatum: 27.04.2006
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 21:31:46    Titel:

erstmal DANKE für die tollen antworten, wobei ich meine, dass sich beide antworten ein wenig wiedersprechen?!

also, war meine vermutung richtig, dass ich irgendwann eine komplexe Zahl = 0 stehen habe!

Das mit den polynomen habe ich nicht verstanden, ich habe ja für a und b reelle Werte und i bleibt i, wie funktioniert das mit den Polynomen? steh auf dem schlauch

danke nochmal, Icewolf
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 21:48:43    Titel:

Gelte z = a+ib mit a,b in lR. Dann gilt

z^2+ 4z + 10 = 0 <=>
(a+ib)^2+4(a+ib)+10 = 0 <=>
a^2 + 2abi - b^2 + 4a + 4bi + 10 = 0 <=>
(a^2 - b^2 + 4a + 10) + i (2ab + 4b) = 0.

Daraus bekommt man das System

(I) 2ab + 4b = 0 und
(II) a^2 - b^2+4a+10 = 0

Sagen wir mal, wir wollen nur komplexe Lösungen. Daraus folgt b <> 0. Aus (I) folgt damit 2a + 4 = 0, also a = -2. Eingesetzt in (ii) bekommt man b

4 - b^2 - 8 + 10 = 0

Also b^2 = 6, also b = +- sqrt(6).

Damit gilt: z = -2 + i sqrt(6) v z = -2 - i sqrt(6).

Ich neige mich zu verrechnen, wenn ich das schnell machen muss. Also fühle Dich frei das nachzuprüfen Smile


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 17 Mai 2006 - 09:49:48, insgesamt einmal bearbeitet
Icewolf2k1
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Anmeldungsdatum: 27.04.2006
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 22:15:32    Titel:

hmm, habe ein wenig durchgerechnet, ist nicht

(a + bi )^2 =

(a + bi ) * ( a + bi) = (ausmultipilzieren)

a^2 + b^2i^2 + 2abi = da i^2 = -1 folgt....

(a^2 - b^2) + (2ab)i

ist das so richtig? verstehe diesen Teil deiner Rechnung nicht!

danke icewolf

EDIT: was heißt bitte b <> 0 ?
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 22:30:32    Titel:

b <> 0 ist das gleiche wie b!=0, also b ungeich null.

Ich gestehe auch in Klausuren die quadratische Formel zu benutzen - im Normalfall ist die zu berechnende Wurzel ein Teil der Aufgabenstellung davor (lol), und es geht schlicht schneller.

sD.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Mai 2006 - 23:02:02    Titel:

Jo habe nen 2-er vergessen. Ich korrigiere das gleich oben.

Zitat:
Ich gestehe auch in Klausuren die quadratische Formel zu benutzen - im Normalfall ist die zu berechnende Wurzel ein Teil der Aufgabenstellung davor (lol), und es geht schlicht schneller.


Jo. Unter Mathematikern: Man darf das schon machen, wenn man das als Nebenrechnung macht um das Ergebnis zu prüfen. Formal ist die Formel nicht definiert, weil man da aus einer komplexen Zahl "die Wurzel" ziehen muss. Das geht im Komplexen ohne weiteres nicht. Bei mir hat es definitiv immer geheißen: 0 Punkte, egal wie das Ergebnis ist und wie viel sonst die Aufgabe Punkte macht. Wenn man sqrt(a+ib) nur hinschreibt, hat man keine Ahnung von Mathe Smile

EDIT: Oben den Tippfehler ausgebessert Smile
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