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Ein Satz (eure Meinung dazu)
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akechi90
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Anmeldungsdatum: 02.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2006 - 02:51:10    Titel: Ein Satz (eure Meinung dazu)

Ich habe einen Satz aufgestellt, von dessen Richtigkeit ich fest überzeugt bin, und dafür auch einen Beweis besitze. Allerdings bin ich mir mit meiner Methode nicht so sicher, und wollte da erst mal euch fragen, wie ihr ihn beweisen würdet.
Er lautet:

Gehört die Quersumme einer Zahl in einem Zahlensystem mit der Basis n der Restklasse r mod n-1 an, so gehört auch die Zahl selbst der Restklasse r mod n-1 an. Dasselbe gelte für Teiler von n-1.

In Formelsprache:

QS([abc...]n) mod (n-1) = [abc...]n mod (n-1)

Zum Beispiel hätten wir im Zehnersystem die Zahl 40, welche im Vierersystem der Zahl [220]4 entspräche.
Sie gehört der Restklasse 1 mod 3 an.
Ebenso gehört auch ihre Quersumme 2+2+0=4 der Restklasse 1 mod 3 an.

Mein Beweis würde folgendermaßen lauten:

Satz 1: Die Zahl [100...]n gehört der Restklasse 1 mod n-1 an.
Satz 2: Die Zahl [abc...]n gehört derselben Restklasse r mod n-1 wie QS([abc...]n)
Satz 3: Der Satz ist auch für Teiler von n-1 gültig.

Beweis von Satz 1:

Man betrachte die Zahl [n-1 n-1 ...]n

Sie entspricht der Zahl (n-1) [11...]n , gehört also der Restklasse 0 mod n-1 an.

Durch Addition von 1 zu [n-1 n-1...]n, erhält man die Zahl [100...]n, was durch den Übertrag erkenntlich ist.

Da [n-1 n-1...] der Restklasse 0 mod n-1 angehört, muss [n-1 n-1...]n +1= [100...]n der Restklasse 1 mod n-1 angehören.

q.e.d.

Beweis von Satz 2:

Die Zahl [abc...]n lässt sich auch in der Form a*([10]n)^h + b*([10]n)^(h-1) + c*([10]n)^(h-2) + ... schreiben.

Eine Zahl der Form [(10)n]^q ist immer als Zahl der Form [100...]n darstellbar. Diese gehört nach Satz 1 immer der Restklasse 1 mod n-1 an.

Somit ist die Restklasse der Zahl [abc...]n mod n-1 gleichzeitig auch die Restklasse der Zahl (a*1 + b*1 + c*1 +...) mod n-1, was auch der Restklasse der Quersumme (a + b + c +...) mod n-1 entspricht.

Somit gehören [abc...]n und QS([abc...]n) derselben Restklasse r mod n-1 an.

q.e.d.

Beweis von Satz 3:

Sei t ein Teiler von n-1.

Alle Zahlen der Restklasse r mod n-1 lassen sich als f*(n-1) + r darstellen, wobei f eine beliebige natürliche Zahl sei.

Da t ein Teiler n-1 ist, gilt:

(f*(n-1) + r) mod t = r mod t

Eine Zahl der Restklasse r mod n-1 gehört auch der Restklasse r mod t an.

Besitzt eine Zahl eine Quersumme der Restklasse r mod n-1, ist diese Quersumme ebenso der Restklasse r mod t angehörig.
Dies lässt sich ebenso nach Satz 1 + 2 auf die Zahlen an sich übertragen.

q.e.d.


Falls ihr einen Fehler in dem Beweis findet, sagt ihn mir bitte.
Danke.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2006 - 14:25:49    Titel:

Was ist ein Zahlensystem deiner Meinung nach? (Ich kann Dir eines erfinden, in dem der Satz nicht gilt)
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2006 - 18:07:25    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Was ist ein Zahlensystem deiner Meinung nach? (Ich kann Dir eines erfinden, in dem der Satz nicht gilt)


Als Diplominformatiker solltest du aber wissen was gemeint ist, dass erkennt man nämlich schon aus dem Text heraus.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2006 - 18:13:10    Titel:

Zitat:
Als Diplominformatiker solltest du aber wissen was gemeint ist, dass erkennt man nämlich schon aus dem Text heraus.


Als Diplominformatiker kenne ich viel zu viele Zahlensysteme in denen der Begriff Basis vorkommt. Der Einwand ist völlig unberechtigt. Meiner Meinung nach sollte der Kollege sich auf lN beschränken und die zugehörigen b-adischen Zahlensysteme betrachten. Sonst wird das schwierig mit der Quersumme.
akechi90
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Anmeldungsdatum: 02.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2006 - 22:02:30    Titel:

Sry, das hab ich auch vergessen zu erwähnen, die Basen sollen ausschließlich aus dem Bereich der natürlichen Zahlen stammen

Und da der Satz erst ab den Binärsystem Sinn ergibt, sagen wir mal alle Zahlen n € IN | n > 1
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2006 - 22:40:55    Titel:

Hallo !

Möchte behaupten, dass QS([abc...]n) mod (n-1) = [abc...]n mod (n-1) auf
n^k = (n-1+1)^k = 1 mod (n-1) für alle k aus IN+{0} basiert und sonst nichts. Wink
akechi90
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Anmeldungsdatum: 02.04.2006
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 21 Mai 2006 - 00:06:00    Titel:

Ja, schon, aber das macht ja nur im ersten Teilbeweis grade mal 2 Zeilen aus, von daher kann man da doch drüber hinwegsehen, oder?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 21 Mai 2006 - 15:39:13    Titel:

Du willst doch QS([abc...]n) mod (n-1) = [abc...]n mod (n-1) zeigen, oder ?!

Schreib die allgemeine Zahlendefinition entsprechend der rechten Seite
Deiner Gleichung zur Basis n explizit hin (n-adisches Zahlensystem),
nimms mod n-1 und dann erhältst Du als Ergebnis die linke Seite Deiner
Gleichung. Umdrehen kannst Du diese Rechnung dann auch.

Lass doch einfach 'mal Deine symbolische Schreibweise außen vor,
denn da musst Du ja ständig im Hinterkopf behalten, was damit
gemeint ist. Ebenso gut könntest Du eine Multiplikation mit römischen
Ziffern durchführen, das ist genauso "einfach".

Eine symbolische Schreibweise macht nur Sinn, wenn man zuerst
alle möglichen Eigenschaften definiert bzw. festgestellt hat.
Dann kann man auf dieser Basis Beweise führen.
Andernfalls muss man unentwegt eine "Symbol- und Textinterpretation"
durchführen, was zu einem "Gedankensalat" führen kann, der der
Übersicht erheblich schadet.

Zurück zum Ursprung und möglichst unkompliziert denken.
Dann steckt die Lösung bereits im Ansatz. Wink


Kleiner Zusatz:
Was meinst Du mit "nur 2 Zeilen, über die man hinweg sehen könnte" ?
Falls Du meinst, ein Beweis bekomme nur dann Gewicht, wenn er
möglichst viele Zeilen hat, dann gibst Du Dich einer Illusion hin,
die alles, was eigentlich einfach zu verstehen ist, vollkommen unnötig
kompliziert macht. Qualität ist gefragt, nicht Quantität !
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