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Fläche eines Graphen mit X-Achse => Fkt. mit Parametern
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xpfreak
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 18:31:28    Titel: Fläche eines Graphen mit X-Achse => Fkt. mit Parametern

y = f(x) = (x^2 - 7*x +2*a) / (2*x+2) a Element R, x!=-1, x Element R

Aufgabe war:

Es gibt Graphen der Funktionen der Schafr fa, die mit der x-Achse eine Fläche vollständig einschließen.
Ermitteln Sie die Werte des Paramters a dieser Funktionen.

Ich habe überlegt, dass es 2 NST geben müsste, d.h. der Graph müsste einmal von oben und unten, bzw. von unten und oben geschnitten werden, damit eine Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse entsteht...

Dafür habe ich die Nullstellenformel in eine Ungleichung umgewandelt und nach a umgestellt:

12,25 - 2*a > 0
a < 6,125

Umstellung erfolgte nach der Diskriminate, da NST-Formel gleich:

x1/2 = 3,5 +- SQRT (12,25 - 2*a)

Dann sehe ich, dass es 2 NST gibt für a < 6,125... aber irgendwie fehlt mir doch eine Untergrenze, oder? Weil ab einem bestimmten neg. Wert für a, hat der eine Parabelast nicht mehr 2 NST mit der X-Achse, hat jemand einen Tipp für mich, wie man dies gelöst bekommt?


Zuletzt bearbeitet von xpfreak am 22 Mai 2006 - 19:23:47, insgesamt einmal bearbeitet
Janus@Mathe
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Anmeldungsdatum: 18.12.2005
Beiträge: 217
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BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 18:44:06    Titel:

schon mal mit Polynomdivision versucht?

außerdem hat die Funktion ganz einfach für alle Werte a < 6,125 2 NST, das hast du doch schon bewiesen!!!

die kleinere Nullstelle is dann ganz einfach die Untergrenze, oder versteh ich dein Problem grad nicht?
xpfreak
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 18:50:13    Titel:

Naja durch den Paramter a schneiden entweder beide parabeläste 1x die NST => keine eingeschlossene Fläche (passiert ab nem bestimmten neg. a) oder eben nur ein Parabelast hat 2 NST => dann wäre ja Fläche eingeschlossen.

Wie meinst du das mit Polynomdivision? Dann bekomme ich doch nur die schiefe Asymptote raus, oder?
Janus@Mathe
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Anmeldungsdatum: 18.12.2005
Beiträge: 217
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BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 19:04:41    Titel:

nein, die Wurzel wird ja nur 0, wenn du a=6,125 hast.

Da du das aber ausgeschlossen hast, wird auch die Wurzel mit jedem a<6,125 größer als null und es ergibt sich somit ein Intervall auf der x-Achse, das sich vom einen zum anderen Nullpunkt erstreckt.

Überleg doch mal. Wenn das a kleiner wird, verschiebt sich die Parabel nur nach unten. Da se nach oben geöffnet ist, wirds dann immer zwei Nullstellen geben.

Insofern also auch immer eine Fläche, die von der Parabel und der x-Achse begrenzt wird Smile

Also gibts auch für die richtige Funktion eine Fläche. Allerdings musst du schauen, dass die linke Nullstelle nicht kleiner als (-1) ist. Sonst gibts ein Problem, nämlich dass du über eine Definitionslücke integrieren müsstest. Wäre dumm (hab ich in ner Klausur auch schon gemacht und hatte dann eine Note schlechter: 14p -.-)
xpfreak
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 19:07:38    Titel:

OK danke, werde es mal durchdenken Wink
xpfreak
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 19:16:29    Titel:

Aber schau mal, ich habe mal 5 Screens der Fkt. hochgestellt, gezeichnet mit Winfunktion, ab a <= -4 gibt es keine eingeschlossene Fläche mehr!?





Janus@Mathe
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Anmeldungsdatum: 18.12.2005
Beiträge: 217
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BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 19:20:15    Titel:

naja, beim 2ten, 3ten oder 4ten is doch was eingeschlossen? des kannste doch locker berechnen?!

Außerdem hast du da unter dem Bruchstrich (2x+2) stehen, aber in der Angabe (2x+1)
xpfreak
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Anmeldungsdatum: 20.05.2006
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 22 Mai 2006 - 19:25:12    Titel:

Ja, 2x+2 ist richtig, war im 1. Post ne Schreibfehler... Es ist doch aber trotzdem ein problem, denn ich kann ja nicht sagen, dass für alle a < 6,125 eine Fläche eingeschlossen wird, anscheinend wird ab a <= -4 keine Fläche mehr eingeschlossen und dies war meine Ausgangsfrage wie ich dies beweisen kann...
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