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Summenfunktion von geometrischen Potenzreihen
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rudinho81
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Anmeldungsdatum: 22.05.2006
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2006 - 12:12:08    Titel: Summenfunktion von geometrischen Potenzreihen

Hallo! Kann mir jemand helfen die Summenfunktion folgender geometrischer Potenzreihen zu ermitteln? Evtl. kann erst nach geeingneteter Umformung die Summenformel angewendet werden. Auch den Konvergenzradius betimmen (soll aus der Summenformel mitgeliefert werden). Ich kriegs nicht hin! Help please.

a)Summe (-1)^k * (5^k/2^k) * (x+1)^k mit k=0 bis unendl.

b)Summe (-1)^k * (5^k/2^k) * (x+1)^k mit k=2 bis unendl.

c)Summe (-1)^k * [5^(k-1)/2^(k+2)] * (x+1)^(k+1) mit k =2 bis unendl.

Dank an die, die das irgendwie können.
someDay
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 3889

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2006 - 12:45:55    Titel:

a) Sei (bn) definiert durch bn = (5^k/2^k) * (x+1)^k = (5/2 * (x+1))^k = (5/2x + 5/2)^k. Nach dem alternierenden Reihen Test konvergiert a), wenn bn+1 <= bn, bn > 0 und bn gegen 0 konvergiert. Der Konvergenzradius von sum [k -> inf] x^k ist [-1,1) - wegen der Bedingung bn > 0 kommt aber nur (0,1) in Frage. 0 < (5/2x + 5/2)^k < 1^k. => x € (...,...) => Konvergenz wenn x € ...

b & c analog.

sD.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 23 Mai 2006 - 13:22:58    Titel:

Hallo !

a)Summe (-1)^k * (5^k/2^k) * (x+1)^k mit k=0 bis unendl.
= Summe(k=0 bis unendlich)(-(5/2)(x+1))^k
= lim(k->unendlich)[(-(5/2)(x+1))^(k+1) - 1]/[-(5/2)(x+1) - 1]
= 1/[(5/2)(x+1) + 1]
für (-(5/2)(x+1))^(k+1) -> 0, wenn |(5/2)(x+1)| < 1
Zusätzlich ist die Reihe auch konvergent, wenn (5/2)(x+1) = 1,
da sie hier alternierend ist.

b)Summe (-1)^k * (5^k/2^k) * (x+1)^k mit k=2 bis unendl.
Hier ziehst Du einfach vom Ergebnis von a)
die Komponente (-1)^k * (5^k/2^k) * (x+1)^k
für k=0 und k=1 ab.
Der Konvergenzradius bleibt natürlich derselbe,
wenn man nur endlich viele Reihenglieder abzieht.

c)Summe (-1)^k * [5^(k-1)/2^(k+2)] * (x+1)^(k+1) mit k =2 bis unendl.
= (-1)²*(5/2^4)*(x+1)³*Summe(k=0 bis unendlich)(-(5/2)(x+1))^k
= (5/16)(x+1)³/[(5/2)(x+1) + 1]
mit dem gleichen Konvergenzradius wie zuvor.
Methode: k durch k+2 ersetzen und die Summe mit k=0 beginnen.
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