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Kreisflächenberechnung
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Easterhayzee
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Anmeldungsdatum: 24.05.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2006 - 12:27:27    Titel: Kreisflächenberechnung

Hallo,

auf der suche nach einer Lösung zu meinem Problem bin ich über diese Forum hier gestolpert. Und wenn mir hier keiner helfen kann ... wer dann?

Folgendes Problem:



Gegeben ist X, Y, R. Wobei bei allen drei Kreisbögen den gleichen Radius R haben.
Gesucht ist die Fläche von A1 und A2.

Bis jetzt habe ich es nur geschafft die gesamte Fläche auszurechnen, also A1+A2, wie ich jetzt aber die zwei Teilflächen berechne hab ich leider keine Ahnung.

Da die Schule schon ein bißchen länger hinter mir liegt, wäre es echt super wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.

Danke schon mal im Vorraus für eure Bemühungen.

Easterhayzee
fas
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 2086

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2006 - 12:56:11    Titel:

Mit der Aufgabe stimmt was nicht, bzw. mit dem Bild. Es kann nicht sein, dass alle Bögen im gleichen Punkt landen, sowohl unten links als auch oben rechts.

Gruss
Easterhayzee
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Anmeldungsdatum: 24.05.2006
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2006 - 13:09:42    Titel:

Hi fas,

tun sie auch nicht. Ist vieleicht auf der Zeichnung ein bißchen schlecht zu erkennen, darum hier noch ein Bild wo die Endpunkte der einzelnen Kreisbögen markiert sind:



Easterhayzee[/img]
Winni
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2006 - 17:25:18    Titel:

Hallo !

Nur ein Ansatz :

Wenn Du nicht endlos rechnen willst, dann benütze die komplexen Zahlen.

i² := -1
a,b,c Winkel

Wenn man den mittleren Kreis mit R*e^(i*a) beschreibt, so haben
die beiden anderen die Darstellung x0 + R*e^(i*b) und y0*i + R*e^(i*c) .

Damit kann man u.a. gut die Koordinaten der Schnittpunkte berechnen.
Winni
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2006 - 12:36:36    Titel:

Deine Problemstellung hat wenig mit der "normalen" Schule zu tun.
Da gehört ein wenig mehr dazu, z.B. Leistungskurs Mathe.

Ich weiß nicht, ob ich Deine Zeichnung richtig interpretiere.
Ich nehme an, dass Kreisbogen 1 links unten um ein lineares Stück
verlängert wird.
Entsprechend Kreisbogen 3 oben rechts ebenso um ein lineares Stück.

Ich kann Dir hier nicht alles erklären, dauert mir auch zu lange.

Ich werde Dir eine Vorstellung davon geben,
wie die Lösung (in etwa) aussieht bzw. wie
Du dazu kommst.


Gegeben:

Die Punkte des obigen kleinen Rechtecks seinen benannt
von links nach rechts und von oben nach unten (Leserichtung)
der Reihe nach E1,E2,E3,E4.

Mittelpunkt des mittleren Kreises ist E4 und sei der Ursprung (0,0)
der klassischen komplexen Zahlenebene. Sei i² = -1 .

Sei a > 0 der Betrag Deines Wertes X auf der x-Achse .
Sei b > 0 der Betrag Deines Wertes Y auf der y-Achse .
Aus optischen Gründen schreibe ich Deinen Radius R als r,
da ich Großbuchstaben hier für Punkte und Flächen benutze,
Kleinbuchstaben als Winkel und Längen.

Mittelpunkt des Kreises 1 ist E2 mit den Koordinaten (0,b) = ib
Mittelpunkt des Kreises 2 ist E3 mit den Koordinaten (-a,0) = -a
Mittelpunkt des Kreises 3 ist E4 mit den Koordinaten (0,0) = 0

Sei S der Schnittpunkt vom Kreisbogen 1 mit Kreisbogen 2.
Sei Q der Schnittpunkt vom Kreisbogen 2 mit der y-Achse
(entsprechend der Zeichnung).

u sei der Winkel zwischen y-Achse (entsprechend der Zeichnung)
und der Verbindungslinie zwischen E2 und S.
v sei der Winkel zwischen Parallele zu y-Achse
(entsprechend der Zeichnung) , die durch (-a,0) verläuft,
und der Verbindungslinie zwischen E3 und S.
w sei der Winkel zwischen Parallele zu y-Achse
(entsprechend der Zeichnung) , die durch (-a,0) verläuft,
und der Verbindungslinie zwischen E3 und Q.

Winkeleingrenzung: 0 < u,v,w < ½π

Flächenangaben:
Sei A die Fläche links von der y-Achse
und C die Fläche rechts von der y-Achse,
die zusammen in Deiner Zeichnung als A1 bezeichnet werden.

Sei B die Fläche links von der y-Achse
und D die Fläche rechts von der y-Achse,
die zusammen in Deiner Zeichnung als A2 bezeichnet werden.
Bei Deiner Zeichnung ist B verschwindend klein.

Gesucht: A1:=A+C und A2:=B+D
Wir ermitteln nachfolgend die Bedingungen für A,B,C,D .


Definitionsgemäß erhalten wir A+B = ab und C+D = rb .
!Anmerkung: Als Ergebnis A1+A2 solltest Du also (a+r)b erhalten haben.


Berechnung der Flächen A und B über folgende Bedingungen:

Winkel: sin(w) = a/r mit 0 < w < ½π
Flächen: ar = (a/2)(r*cos(w)) + (w/2)r² + B
=> B und folglich A = ab-B


Berechnung der Flächen C und D über folgende Bedingungen:

Winkel:
komplexer Ansatz für den Schnittpunkt S
-a + r*e^(iu-i½π) = ib + r*e^(iv-i½π)
Die Aufspaltung in Realteil und Imaginärteil liefert
zwei Gleichungen mit den beiden unbekannten Winkeln u und v
unter Berücksichtigung 0 < u,v < ½π .
=> u,v

Flächen:
(1/2)(v-w)r² = C + (u/2)r² - (1/2)(b + a*tan(½π-v))(r*sin(u)) +
+ (a/2)(r*cos(w)) - (a/2)(a*tan(½π-v))
=> C und folglich D = rb-C


Es ist keinesfalls ausgeschlossen, dass ich mich verrechnet habe,
vielleicht ein Vorzeichendreher oder Winkel vertauscht oder
Fläche falsch angesetzt oder ... .

Ich habe hier nur Bedingungen ermittelt.
Nachrechnen und vereinfachen musst Du selbst.
Wink
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